Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82557 / 20193
↖ ↑ ↗
← N 77.019075°
E 46.749573°		 ← 68.61 m → N 77.019075°
E 46.752320°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.018458°
E 46.749573°		 ← 68.61 m →
4 708 m²		 N 77.018458°
E 46.752320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629863739013672 y=0.154064178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629863739013672 × 217)
    floor (0.629863739013672 × 131072)
    floor (82557.5)     		tx = 82557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154064178466797 × 217)
    floor (0.154064178466797 × 131072)
    floor (20193.5)     		ty = 20193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82557 / 20193 ti = "17/82557/20193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82557/20193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82557 ÷ 217
    82557 ÷ 131072     		x = 0.629859924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20193 ÷ 217
    20193 ÷ 131072     		y = 0.154060363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629859924316406 × 2 - 1) × π
    0.259719848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81593397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154060363769531 × 2 - 1) × π
    0.691879272460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17360283947221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81593397} λ = 0.81593397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17360283947221))-π/2
    2×atan(8.78989564376278)-π/2
    2×1.457516382643-π/2
    2.91503276528599-1.57079632675     		φ = 1.34423644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81593397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.749573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34423644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82557 KachelY 20193 0.81593397 1.34423644 46.749573 77.019075
    Oben rechts KachelX + 1 82558 KachelY 20193 0.81598191 1.34423644 46.752320 77.019075
    Unten links KachelX 82557 KachelY + 1 20194 0.81593397 1.34422567 46.749573 77.018458
    Unten rechts KachelX + 1 82558 KachelY + 1 20194 0.81598191 1.34422567 46.752320 77.018458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34423644-1.34422567) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34423644-1.34422567) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81593397-0.81598191) × cos(1.34423644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224626658534085 × 6371000     		do = 68.6067634064553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81593397-0.81598191) × cos(1.34422567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224637153292637 × 6371000     		du = 68.609968775852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34423644)-sin(1.34422567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224626658534085-0.224637153292637)×R²
    abs(0.81598191-0.81593397)×1.04947585515824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04947585515824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04947585515824e-05×40589641000000     		ar = 4707.60900701464m²