Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82556 / 19021
↖ ↑ ↗
← N 77.722692°
E 46.746826°		 ← 64.95 m → N 77.722692°
E 46.749573°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.722108°
E 46.746826°		 ← 64.95 m →
4 216 m²		 N 77.722108°
E 46.749573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629856109619141 y=0.145122528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629856109619141 × 217)
    floor (0.629856109619141 × 131072)
    floor (82556.5)     		tx = 82556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145122528076172 × 217)
    floor (0.145122528076172 × 131072)
    floor (19021.5)     		ty = 19021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82556 / 19021 ti = "17/82556/19021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82556/19021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82556 ÷ 217
    82556 ÷ 131072     		x = 0.629852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19021 ÷ 217
    19021 ÷ 131072     		y = 0.145118713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    0.25970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81588603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145118713378906 × 2 - 1) × π
    0.709762573242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.22978488582691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81588603} λ = 0.81588603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22978488582691))-π/2
    2×atan(9.29786576163814)-π/2
    2×1.46365660382379-π/2
    2.92731320764758-1.57079632675     		φ = 1.35651688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81588603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35651688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.722692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82556 KachelY 19021 0.81588603 1.35651688 46.746826 77.722692
    Oben rechts KachelX + 1 82557 KachelY 19021 0.81593397 1.35651688 46.749573 77.722692
    Unten links KachelX 82556 KachelY + 1 19022 0.81588603 1.35650669 46.746826 77.722108
    Unten rechts KachelX + 1 82557 KachelY + 1 19022 0.81593397 1.35650669 46.749573 77.722108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35651688-1.35650669) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35651688-1.35650669) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81588603-0.81593397) × cos(1.35651688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212643409504881 × 6371000     		do = 64.9467707041086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81588603-0.81593397) × cos(1.35650669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212653366447203 × 6371000     		du = 64.9498118105855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35651688)-sin(1.35650669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212643409504881-0.212653366447203)×R²
    abs(0.81593397-0.81588603)×9.95694232233668e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.95694232233668e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.95694232233668e-06×40589641000000     		ar = 4216.47489302062m²