Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82556 / 14580
↖ ↑ ↗
← N 80.063739°
E 46.746826°		 ← 52.70 m → N 80.063739°
E 46.749573°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.063264°
E 46.746826°		 ← 52.70 m →
2 780 m²		 N 80.063264°
E 46.749573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629856109619141 y=0.111240386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629856109619141 × 217)
    floor (0.629856109619141 × 131072)
    floor (82556.5)     		tx = 82556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111240386962891 × 217)
    floor (0.111240386962891 × 131072)
    floor (14580.5)     		ty = 14580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82556 / 14580 ti = "17/82556/14580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82556/14580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82556 ÷ 217
    82556 ÷ 131072     		x = 0.629852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14580 ÷ 217
    14580 ÷ 131072     		y = 0.111236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    0.25970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81588603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111236572265625 × 2 - 1) × π
    0.77752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44267265703958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81588603} λ = 0.81588603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44267265703958))-π/2
    2×atan(11.503745258945)-π/2
    2×1.48408608604576-π/2
    2.96817217209152-1.57079632675     		φ = 1.39737585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81588603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39737585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.063739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82556 KachelY 14580 0.81588603 1.39737585 46.746826 80.063739
    Oben rechts KachelX + 1 82557 KachelY 14580 0.81593397 1.39737585 46.749573 80.063739
    Unten links KachelX 82556 KachelY + 1 14581 0.81588603 1.39736757 46.746826 80.063264
    Unten rechts KachelX + 1 82557 KachelY + 1 14581 0.81593397 1.39736757 46.749573 80.063264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39737585-1.39736757) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dl = 52.7518800005267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39737585-1.39736757) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dr = 52.7518800005267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81588603-0.81593397) × cos(1.39737585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172552522630883 × 6371000     		do = 52.7019819133697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81588603-0.81593397) × cos(1.39736757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172560678427603 × 6371000     		du = 52.7044729036182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39737585)-sin(1.39736757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172552522630883-0.172560678427603)×R²
    abs(0.81593397-0.81588603)×8.15579672006073e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.15579672006073e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.15579672006073e-06×40589641000000     		ar = 2780.19432809595m²