Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82555 / 14555
↖ ↑ ↗
← N 80.075579°
E 46.744079°		 ← 52.64 m → N 80.075579°
E 46.746826°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.075106°
E 46.744079°		 ← 52.64 m →
2 770 m²		 N 80.075106°
E 46.746826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629848480224609 y=0.111049652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629848480224609 × 217)
    floor (0.629848480224609 × 131072)
    floor (82555.5)     		tx = 82555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111049652099609 × 217)
    floor (0.111049652099609 × 131072)
    floor (14555.5)     		ty = 14555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82555 / 14555 ti = "17/82555/14555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82555/14555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82555 ÷ 217
    82555 ÷ 131072     		x = 0.629844665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14555 ÷ 217
    14555 ÷ 131072     		y = 0.111045837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629844665527344 × 2 - 1) × π
    0.259689331054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81583809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111045837402344 × 2 - 1) × π
    0.777908325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.44387107953008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81583809} λ = 0.81583809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44387107953008))-π/2
    2×atan(11.5175398702235)-π/2
    2×1.48418942045739-π/2
    2.96837884091477-1.57079632675     		φ = 1.39758251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81583809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.744079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39758251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.075579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82555 KachelY 14555 0.81583809 1.39758251 46.744079 80.075579
    Oben rechts KachelX + 1 82556 KachelY 14555 0.81588603 1.39758251 46.746826 80.075579
    Unten links KachelX 82555 KachelY + 1 14556 0.81583809 1.39757425 46.744079 80.075106
    Unten rechts KachelX + 1 82556 KachelY + 1 14556 0.81588603 1.39757425 46.746826 80.075106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39758251-1.39757425) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39758251-1.39757425) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81583809-0.81588603) × cos(1.39758251) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172348958781847 × 6371000     		do = 52.6398082742627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81583809-0.81588603) × cos(1.39757425) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172357095172972 × 6371000     		du = 52.6422933375428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39758251)-sin(1.39757425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172348958781847-0.172357095172972)×R²
    abs(0.81588603-0.81583809)×8.13639112451359e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.13639112451359e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.13639112451359e-06×40589641000000     		ar = 2770.20687254861m²