Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82553 / 19015
↖ ↑ ↗
← N 77.726196°
E 46.738586°		 ← 64.93 m → N 77.726196°
E 46.741333°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.725612°
E 46.738586°		 ← 64.93 m →
4 215 m²		 N 77.725612°
E 46.741333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629833221435547 y=0.145076751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629833221435547 × 217)
    floor (0.629833221435547 × 131072)
    floor (82553.5)     		tx = 82553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145076751708984 × 217)
    floor (0.145076751708984 × 131072)
    floor (19015.5)     		ty = 19015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82553 / 19015 ti = "17/82553/19015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82553/19015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82553 ÷ 217
    82553 ÷ 131072     		x = 0.629829406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19015 ÷ 217
    19015 ÷ 131072     		y = 0.145072937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629829406738281 × 2 - 1) × π
    0.259658813476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81574222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145072937011719 × 2 - 1) × π
    0.709854125976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.23007250722463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81574222} λ = 0.81574222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23007250722463))-π/2
    2×atan(9.30054041140913)-π/2
    2×1.46368717992417-π/2
    2.92737435984835-1.57079632675     		φ = 1.35657803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81574222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.738586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35657803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.726196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82553 KachelY 19015 0.81574222 1.35657803 46.738586 77.726196
    Oben rechts KachelX + 1 82554 KachelY 19015 0.81579016 1.35657803 46.741333 77.726196
    Unten links KachelX 82553 KachelY + 1 19016 0.81574222 1.35656784 46.738586 77.725612
    Unten rechts KachelX + 1 82554 KachelY + 1 19016 0.81579016 1.35656784 46.741333 77.725612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35657803-1.35656784) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35657803-1.35656784) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81574222-0.81579016) × cos(1.35657803) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212583657615873 × 6371000     		do = 64.9285209393424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81574222-0.81579016) × cos(1.35656784) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212593614690682 × 6371000     		du = 64.9315620862841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35657803)-sin(1.35656784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212583657615873-0.212593614690682)×R²
    abs(0.81579016-0.81574222)×9.95707480885843e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.95707480885843e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.95707480885843e-06×40589641000000     		ar = 4215.29011068119m²