Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82552 / 14648
↖ ↑ ↗
← N 80.031459°
E 46.735840°		 ← 52.87 m → N 80.031459°
E 46.738586°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.030984°
E 46.735840°		 ← 52.87 m →
2 796 m²		 N 80.030984°
E 46.738586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629825592041016 y=0.111759185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629825592041016 × 217)
    floor (0.629825592041016 × 131072)
    floor (82552.5)     		tx = 82552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111759185791016 × 217)
    floor (0.111759185791016 × 131072)
    floor (14648.5)     		ty = 14648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82552 / 14648 ti = "17/82552/14648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82552/14648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82552 ÷ 217
    82552 ÷ 131072     		x = 0.62982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14648 ÷ 217
    14648 ÷ 131072     		y = 0.11175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62982177734375 × 2 - 1) × π
    0.2596435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81569428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11175537109375 × 2 - 1) × π
    0.7764892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43941294786542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81569428} λ = 0.81569428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43941294786542))-π/2
    2×atan(11.466307446328)-π/2
    2×1.4838043985514-π/2
    2.9676087971028-1.57079632675     		φ = 1.39681247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81569428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39681247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.031459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82552 KachelY 14648 0.81569428 1.39681247 46.735840 80.031459
    Oben rechts KachelX + 1 82553 KachelY 14648 0.81574222 1.39681247 46.738586 80.031459
    Unten links KachelX 82552 KachelY + 1 14649 0.81569428 1.39680417 46.735840 80.030984
    Unten rechts KachelX + 1 82553 KachelY + 1 14649 0.81574222 1.39680417 46.738586 80.030984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39681247-1.39680417) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39681247-1.39680417) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81569428-0.81574222) × cos(1.39681247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17310742469699 × 6371000     		do = 52.8714632875378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81569428-0.81574222) × cos(1.39680417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173115599385506 × 6371000     		du = 52.8739600478272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39681247)-sin(1.39680417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17310742469699-0.173115599385506)×R²
    abs(0.81574222-0.81569428)×8.17468851627146e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.17468851627146e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.17468851627146e-06×40589641000000     		ar = 2795.87198195199m²