Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82551 / 20206
↖ ↑ ↗
← N 77.011052°
E 46.733093°		 ← 68.63 m → N 77.011052°
E 46.735840°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.010434°
E 46.733093°		 ← 68.64 m →
4 709 m²		 N 77.010434°
E 46.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629817962646484 y=0.154163360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629817962646484 × 217)
    floor (0.629817962646484 × 131072)
    floor (82551.5)     		tx = 82551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154163360595703 × 217)
    floor (0.154163360595703 × 131072)
    floor (20206.5)     		ty = 20206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82551 / 20206 ti = "17/82551/20206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82551/20206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82551 ÷ 217
    82551 ÷ 131072     		x = 0.629814147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20206 ÷ 217
    20206 ÷ 131072     		y = 0.154159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629814147949219 × 2 - 1) × π
    0.259628295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81564635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154159545898438 × 2 - 1) × π
    0.691680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17297965977715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81564635} λ = 0.81564635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17297965977715))-π/2
    2×atan(8.78441966571227)-π/2
    2×1.4574463700009-π/2
    2.91489274000179-1.57079632675     		φ = 1.34409641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81564635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.733093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34409641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.011052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82551 KachelY 20206 0.81564635 1.34409641 46.733093 77.011052
    Oben rechts KachelX + 1 82552 KachelY 20206 0.81569428 1.34409641 46.735840 77.011052
    Unten links KachelX 82551 KachelY + 1 20207 0.81564635 1.34408564 46.733093 77.010434
    Unten rechts KachelX + 1 82552 KachelY + 1 20207 0.81569428 1.34408564 46.735840 77.010434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34409641-1.34408564) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dl = 68.6156699988962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34409641-1.34408564) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dr = 68.6156699988962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81564635-0.81569428) × cos(1.34409641) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224763107850783 × 6371000     		do = 68.6341188824662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81564635-0.81569428) × cos(1.34408564) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224773602270459 × 6371000     		du = 68.6373234797621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34409641)-sin(1.34408564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224763107850783-0.224773602270459)×R²
    abs(0.81569428-0.81564635)×1.04944196759327e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04944196759327e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04944196759327e-05×40589641000000     		ar = 4709.48599471891m²