Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82551 / 19016
↖ ↑ ↗
← N 77.725612°
E 46.733093°		 ← 64.92 m → N 77.725612°
E 46.735840°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.725028°
E 46.733093°		 ← 64.92 m →
4 215 m²		 N 77.725028°
E 46.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629817962646484 y=0.145084381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629817962646484 × 217)
    floor (0.629817962646484 × 131072)
    floor (82551.5)     		tx = 82551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145084381103516 × 217)
    floor (0.145084381103516 × 131072)
    floor (19016.5)     		ty = 19016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82551 / 19016 ti = "17/82551/19016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82551/19016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82551 ÷ 217
    82551 ÷ 131072     		x = 0.629814147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19016 ÷ 217
    19016 ÷ 131072     		y = 0.14508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629814147949219 × 2 - 1) × π
    0.259628295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81564635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14508056640625 × 2 - 1) × π
    0.7098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23002457032501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81564635} λ = 0.81564635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23002457032501))-π/2
    2×atan(9.30009458302292)-π/2
    2×1.46368208450418-π/2
    2.92736416900836-1.57079632675     		φ = 1.35656784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81564635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.733093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35656784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.725612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82551 KachelY 19016 0.81564635 1.35656784 46.733093 77.725612
    Oben rechts KachelX + 1 82552 KachelY 19016 0.81569428 1.35656784 46.735840 77.725612
    Unten links KachelX 82551 KachelY + 1 19017 0.81564635 1.35655765 46.733093 77.725028
    Unten rechts KachelX + 1 82552 KachelY + 1 19017 0.81569428 1.35655765 46.735840 77.725028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35656784-1.35655765) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35656784-1.35655765) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81564635-0.81569428) × cos(1.35656784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212593614690682 × 6371000     		do = 64.9180177470241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81564635-0.81569428) × cos(1.35655765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212603571743416 × 6371000     		du = 64.9210582528598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35656784)-sin(1.35655765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212593614690682-0.212603571743416)×R²
    abs(0.81569428-0.81564635)×9.95705273396097e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95705273396097e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95705273396097e-06×40589641000000     		ar = 4214.60821774396m²