Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82551 / 14563
↖ ↑ ↗
← N 80.071792°
E 46.733093°		 ← 52.65 m → N 80.071792°
E 46.735840°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.071318°
E 46.733093°		 ← 52.65 m →
2 774 m²		 N 80.071318°
E 46.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629817962646484 y=0.111110687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629817962646484 × 217)
    floor (0.629817962646484 × 131072)
    floor (82551.5)     		tx = 82551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111110687255859 × 217)
    floor (0.111110687255859 × 131072)
    floor (14563.5)     		ty = 14563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82551 / 14563 ti = "17/82551/14563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82551/14563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82551 ÷ 217
    82551 ÷ 131072     		x = 0.629814147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14563 ÷ 217
    14563 ÷ 131072     		y = 0.111106872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629814147949219 × 2 - 1) × π
    0.259628295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81564635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111106872558594 × 2 - 1) × π
    0.777786254882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.44348758433312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81564635} λ = 0.81564635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44348758433312))-π/2
    2×atan(11.5131237958282)-π/2
    2×1.4841563667165-π/2
    2.968312733433-1.57079632675     		φ = 1.39751641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81564635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.733093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39751641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.071792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82551 KachelY 14563 0.81564635 1.39751641 46.733093 80.071792
    Oben rechts KachelX + 1 82552 KachelY 14563 0.81569428 1.39751641 46.735840 80.071792
    Unten links KachelX 82551 KachelY + 1 14564 0.81564635 1.39750814 46.733093 80.071318
    Unten rechts KachelX + 1 82552 KachelY + 1 14564 0.81569428 1.39750814 46.735840 80.071318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39751641-1.39750814) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dl = 52.6881699994992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39751641-1.39750814) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dr = 52.6881699994992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81564635-0.81569428) × cos(1.39751641) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172414069282037 × 6371000     		do = 52.6487101965558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81564635-0.81569428) × cos(1.39750814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172422215429273 × 6371000     		du = 52.6511977206124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39751641)-sin(1.39750814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172414069282037-0.172422215429273)×R²
    abs(0.81569428-0.81564635)×8.14614723568252e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.14614723568252e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.14614723568252e-06×40589641000000     		ar = 2774.02972450298m²