Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82549 / 14584
↖ ↑ ↗
← N 80.061843°
E 46.727600°		 ← 52.71 m → N 80.061843°
E 46.730347°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.061368°
E 46.727600°		 ← 52.71 m →
2 781 m²		 N 80.061368°
E 46.730347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629802703857422 y=0.111270904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629802703857422 × 217)
    floor (0.629802703857422 × 131072)
    floor (82549.5)     		tx = 82549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111270904541016 × 217)
    floor (0.111270904541016 × 131072)
    floor (14584.5)     		ty = 14584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82549 / 14584 ti = "17/82549/14584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82549/14584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82549 ÷ 217
    82549 ÷ 131072     		x = 0.629798889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14584 ÷ 217
    14584 ÷ 131072     		y = 0.11126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629798889160156 × 2 - 1) × π
    0.259597778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81555047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11126708984375 × 2 - 1) × π
    0.7774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4424809094411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81555047} λ = 0.81555047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4424809094411))-π/2
    2×atan(11.5015396548844)-π/2
    2×1.48406954121703-π/2
    2.96813908243407-1.57079632675     		φ = 1.39734276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81555047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.727600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39734276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.061843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82549 KachelY 14584 0.81555047 1.39734276 46.727600 80.061843
    Oben rechts KachelX + 1 82550 KachelY 14584 0.81559841 1.39734276 46.730347 80.061843
    Unten links KachelX 82549 KachelY + 1 14585 0.81555047 1.39733448 46.727600 80.061368
    Unten rechts KachelX + 1 82550 KachelY + 1 14585 0.81559841 1.39733448 46.730347 80.061368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39734276-1.39733448) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39734276-1.39733448) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81555047-0.81559841) × cos(1.39734276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17258511619694 × 6371000     		do = 52.7119368274018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81555047-0.81559841) × cos(1.39733448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172593271946377 × 6371000     		du = 52.714427803209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39734276)-sin(1.39733448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17258511619694-0.172593271946377)×R²
    abs(0.81559841-0.81555047)×8.15574943741071e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.15574943741071e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.15574943741071e-06×40589641000000     		ar = 2780.71946799938m²