Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82548 / 14584
↖ ↑ ↗
← N 80.061843°
E 46.724854°		 ← 52.70 m → N 80.061843°
E 46.727600°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.061368°
E 46.724854°		 ← 52.70 m →
2 780 m²		 N 80.061368°
E 46.727600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629795074462891 y=0.111270904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629795074462891 × 217)
    floor (0.629795074462891 × 131072)
    floor (82548.5)     		tx = 82548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111270904541016 × 217)
    floor (0.111270904541016 × 131072)
    floor (14584.5)     		ty = 14584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82548 / 14584 ti = "17/82548/14584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82548/14584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82548 ÷ 217
    82548 ÷ 131072     		x = 0.629791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14584 ÷ 217
    14584 ÷ 131072     		y = 0.11126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629791259765625 × 2 - 1) × π
    0.25958251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81550254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11126708984375 × 2 - 1) × π
    0.7774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4424809094411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81550254} λ = 0.81550254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4424809094411))-π/2
    2×atan(11.5015396548844)-π/2
    2×1.48406954121703-π/2
    2.96813908243407-1.57079632675     		φ = 1.39734276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81550254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.724854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39734276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.061843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82548 KachelY 14584 0.81550254 1.39734276 46.724854 80.061843
    Oben rechts KachelX + 1 82549 KachelY 14584 0.81555047 1.39734276 46.727600 80.061843
    Unten links KachelX 82548 KachelY + 1 14585 0.81550254 1.39733448 46.724854 80.061368
    Unten rechts KachelX + 1 82549 KachelY + 1 14585 0.81555047 1.39733448 46.727600 80.061368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39734276-1.39733448) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39734276-1.39733448) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81550254-0.81555047) × cos(1.39734276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17258511619694 × 6371000     		do = 52.7009414297157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81550254-0.81555047) × cos(1.39733448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172593271946377 × 6371000     		du = 52.7034318859201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39734276)-sin(1.39733448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17258511619694-0.172593271946377)×R²
    abs(0.81555047-0.81550254)×8.15574943741071e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.15574943741071e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.15574943741071e-06×40589641000000     		ar = 2780.13942639506m²