Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82543 / 20207
↖ ↑ ↗
← N 77.010434°
E 46.711121°		 ← 68.65 m → N 77.010434°
E 46.713867°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.009817°
E 46.711121°		 ← 68.65 m →
4 715 m²		 N 77.009817°
E 46.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629756927490234 y=0.154170989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629756927490234 × 217)
    floor (0.629756927490234 × 131072)
    floor (82543.5)     		tx = 82543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154170989990234 × 217)
    floor (0.154170989990234 × 131072)
    floor (20207.5)     		ty = 20207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82543 / 20207 ti = "17/82543/20207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82543/20207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82543 ÷ 217
    82543 ÷ 131072     		x = 0.629753112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20207 ÷ 217
    20207 ÷ 131072     		y = 0.154167175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629753112792969 × 2 - 1) × π
    0.259506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81526285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154167175292969 × 2 - 1) × π
    0.691665649414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.17293172287753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81526285} λ = 0.81526285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17293172287753))-π/2
    2×atan(8.78399857796144)-π/2
    2×1.45744098265188-π/2
    2.91488196530376-1.57079632675     		φ = 1.34408564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81526285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.711121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34408564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.010434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82543 KachelY 20207 0.81526285 1.34408564 46.711121 77.010434
    Oben rechts KachelX + 1 82544 KachelY 20207 0.81531079 1.34408564 46.713867 77.010434
    Unten links KachelX 82543 KachelY + 1 20208 0.81526285 1.34407486 46.711121 77.009817
    Unten rechts KachelX + 1 82544 KachelY + 1 20208 0.81531079 1.34407486 46.713867 77.009817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34408564-1.34407486) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34408564-1.34407486) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81526285-0.81531079) × cos(1.34408564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224773602270459 × 6371000     		do = 68.6516438058757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81526285-0.81531079) × cos(1.34407486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224784106408149 × 6371000     		du = 68.6548520399027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34408564)-sin(1.34407486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224773602270459-0.224784106408149)×R²
    abs(0.81531079-0.81526285)×1.05041376898818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05041376898818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05041376898818e-05×40589641000000     		ar = 4715.06250239326m²