Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82543 / 15935
↖ ↑ ↗
← N 79.400590°
E 46.711121°		 ← 56.18 m → N 79.400590°
E 46.713867°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.400084°
E 46.711121°		 ← 56.18 m →
3 157 m²		 N 79.400084°
E 46.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629756927490234 y=0.121578216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629756927490234 × 217)
    floor (0.629756927490234 × 131072)
    floor (82543.5)     		tx = 82543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121578216552734 × 217)
    floor (0.121578216552734 × 131072)
    floor (15935.5)     		ty = 15935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82543 / 15935 ti = "17/82543/15935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82543/15935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82543 ÷ 217
    82543 ÷ 131072     		x = 0.629753112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15935 ÷ 217
    15935 ÷ 131072     		y = 0.121574401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629753112792969 × 2 - 1) × π
    0.259506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81526285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121574401855469 × 2 - 1) × π
    0.756851196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.37771815805441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81526285} λ = 0.81526285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37771815805441))-π/2
    2×atan(10.7802758914733)-π/2
    2×1.47829902292704-π/2
    2.95659804585408-1.57079632675     		φ = 1.38580172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81526285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.711121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38580172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82543 KachelY 15935 0.81526285 1.38580172 46.711121 79.400590
    Oben rechts KachelX + 1 82544 KachelY 15935 0.81531079 1.38580172 46.713867 79.400590
    Unten links KachelX 82543 KachelY + 1 15936 0.81526285 1.38579290 46.711121 79.400084
    Unten rechts KachelX + 1 82544 KachelY + 1 15936 0.81531079 1.38579290 46.713867 79.400084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38580172-1.38579290) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38580172-1.38579290) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81526285-0.81531079) × cos(1.38580172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183941232348563 × 6371000     		do = 56.1803870065349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81526285-0.81531079) × cos(1.38579290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183949901847889 × 6371000     		du = 56.1830348947819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38580172)-sin(1.38579290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183941232348563-0.183949901847889)×R²
    abs(0.81531079-0.81526285)×8.66949932559757e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66949932559757e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66949932559757e-06×40589641000000     		ar = 3156.97506162031m²