Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82543 / 14612
↖ ↑ ↗
← N 80.048561°
E 46.711121°		 ← 52.78 m → N 80.048561°
E 46.713867°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.048087°
E 46.711121°		 ← 52.78 m →
2 784 m²		 N 80.048087°
E 46.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629756927490234 y=0.111484527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629756927490234 × 217)
    floor (0.629756927490234 × 131072)
    floor (82543.5)     		tx = 82543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111484527587891 × 217)
    floor (0.111484527587891 × 131072)
    floor (14612.5)     		ty = 14612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82543 / 14612 ti = "17/82543/14612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82543/14612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82543 ÷ 217
    82543 ÷ 131072     		x = 0.629753112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14612 ÷ 217
    14612 ÷ 131072     		y = 0.111480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629753112792969 × 2 - 1) × π
    0.259506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81526285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111480712890625 × 2 - 1) × π
    0.77703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44113867625174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81526285} λ = 0.81526285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44113867625174))-π/2
    2×atan(11.4861122625261)-π/2
    2×1.48395363988045-π/2
    2.96790727976091-1.57079632675     		φ = 1.39711095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81526285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.711121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39711095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.048561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82543 KachelY 14612 0.81526285 1.39711095 46.711121 80.048561
    Oben rechts KachelX + 1 82544 KachelY 14612 0.81531079 1.39711095 46.713867 80.048561
    Unten links KachelX 82543 KachelY + 1 14613 0.81526285 1.39710267 46.711121 80.048087
    Unten rechts KachelX + 1 82544 KachelY + 1 14613 0.81531079 1.39710267 46.713867 80.048087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39711095-1.39710267) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dl = 52.7518800005267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39711095-1.39710267) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dr = 52.7518800005267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81526285-0.81531079) × cos(1.39711095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172813443157955 × 6371000     		do = 52.7816737584317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81526285-0.81531079) × cos(1.39710267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172821598575908 × 6371000     		du = 52.784164632995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39711095)-sin(1.39710267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172813443157955-0.172821598575908)×R²
    abs(0.81531079-0.81526285)×8.15541795309849e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.15541795309849e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.15541795309849e-06×40589641000000     		ar = 2784.39821948034m²