Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82542 / 20182
↖ ↑ ↗
← N 77.025860°
E 46.708374°		 ← 68.57 m → N 77.025860°
E 46.711121°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.025243°
E 46.708374°		 ← 68.57 m →
4 705 m²		 N 77.025243°
E 46.711121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629749298095703 y=0.153980255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629749298095703 × 217)
    floor (0.629749298095703 × 131072)
    floor (82542.5)     		tx = 82542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153980255126953 × 217)
    floor (0.153980255126953 × 131072)
    floor (20182.5)     		ty = 20182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82542 / 20182 ti = "17/82542/20182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82542/20182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82542 ÷ 217
    82542 ÷ 131072     		x = 0.629745483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20182 ÷ 217
    20182 ÷ 131072     		y = 0.153976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629745483398438 × 2 - 1) × π
    0.259490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81521491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153976440429688 × 2 - 1) × π
    0.692047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17413014536803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81521491} λ = 0.81521491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17413014536803))-π/2
    2×atan(8.79453182979608)-π/2
    2×1.45757559091114-π/2
    2.91515118182227-1.57079632675     		φ = 1.34435486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81521491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.708374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34435486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.025860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82542 KachelY 20182 0.81521491 1.34435486 46.708374 77.025860
    Oben rechts KachelX + 1 82543 KachelY 20182 0.81526285 1.34435486 46.711121 77.025860
    Unten links KachelX 82542 KachelY + 1 20183 0.81521491 1.34434409 46.708374 77.025243
    Unten rechts KachelX + 1 82543 KachelY + 1 20183 0.81526285 1.34434409 46.711121 77.025243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34435486-1.34434409) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dl = 68.6156699988962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34435486-1.34434409) × R
    1.07699999998268e-05 × 6371000     		dr = 68.6156699988962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81521491-0.81526285) × cos(1.34435486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224511263194225 × 6371000     		do = 68.5715186993858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81521491-0.81526285) × cos(1.34434409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224521758239194 × 6371000     		du = 68.574724156262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34435486)-sin(1.34434409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224511263194225-0.224521758239194)×R²
    abs(0.81526285-0.81521491)×1.04950449695829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04950449695829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04950449695829e-05×40589641000000     		ar = 4705.19067054342m²