Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82539 / 20210
↖ ↑ ↗
← N 77.008582°
E 46.700134°		 ← 68.66 m → N 77.008582°
E 46.702881°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.007964°
E 46.700134°		 ← 68.66 m →
4 716 m²		 N 77.007964°
E 46.702881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629726409912109 y=0.154193878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629726409912109 × 217)
    floor (0.629726409912109 × 131072)
    floor (82539.5)     		tx = 82539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154193878173828 × 217)
    floor (0.154193878173828 × 131072)
    floor (20210.5)     		ty = 20210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82539 / 20210 ti = "17/82539/20210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82539/20210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82539 ÷ 217
    82539 ÷ 131072     		x = 0.629722595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20210 ÷ 217
    20210 ÷ 131072     		y = 0.154190063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629722595214844 × 2 - 1) × π
    0.259445190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81507110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154190063476562 × 2 - 1) × π
    0.691619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17278791217867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81507110} λ = 0.81507110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17278791217867))-π/2
    2×atan(8.782735435816)-π/2
    2×1.45742481909489-π/2
    2.91484963818977-1.57079632675     		φ = 1.34405331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81507110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.700134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34405331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.008582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82539 KachelY 20210 0.81507110 1.34405331 46.700134 77.008582
    Oben rechts KachelX + 1 82540 KachelY 20210 0.81511904 1.34405331 46.702881 77.008582
    Unten links KachelX 82539 KachelY + 1 20211 0.81507110 1.34404253 46.700134 77.007964
    Unten rechts KachelX + 1 82540 KachelY + 1 20211 0.81511904 1.34404253 46.702881 77.007964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34405331-1.34404253) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34405331-1.34404253) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81507110-0.81511904) × cos(1.34405331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224805104861125 × 6371000     		do = 68.6612655079416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81507110-0.81511904) × cos(1.34404253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22481560892047 × 6371000     		du = 68.6644737180401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34405331)-sin(1.34404253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224805104861125-0.22481560892047)×R²
    abs(0.81511904-0.81507110)×1.05040593450512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05040593450512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05040593450512e-05×40589641000000     		ar = 4715.7233140187m²