Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82539 / 14609
↖ ↑ ↗
← N 80.049985°
E 46.700134°		 ← 52.77 m → N 80.049985°
E 46.702881°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.049510°
E 46.700134°		 ← 52.78 m →
2 784 m²		 N 80.049510°
E 46.702881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629726409912109 y=0.111461639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629726409912109 × 217)
    floor (0.629726409912109 × 131072)
    floor (82539.5)     		tx = 82539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111461639404297 × 217)
    floor (0.111461639404297 × 131072)
    floor (14609.5)     		ty = 14609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82539 / 14609 ti = "17/82539/14609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82539/14609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82539 ÷ 217
    82539 ÷ 131072     		x = 0.629722595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14609 ÷ 217
    14609 ÷ 131072     		y = 0.111457824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629722595214844 × 2 - 1) × π
    0.259445190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81507110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111457824707031 × 2 - 1) × π
    0.777084350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.4412824869506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81507110} λ = 0.81507110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4412824869506))-π/2
    2×atan(11.4877642071385)-π/2
    2×1.48396606521123-π/2
    2.96793213042247-1.57079632675     		φ = 1.39713580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81507110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.700134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39713580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.049985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82539 KachelY 14609 0.81507110 1.39713580 46.700134 80.049985
    Oben rechts KachelX + 1 82540 KachelY 14609 0.81511904 1.39713580 46.702881 80.049985
    Unten links KachelX 82539 KachelY + 1 14610 0.81507110 1.39712752 46.700134 80.049510
    Unten rechts KachelX + 1 82540 KachelY + 1 14610 0.81511904 1.39712752 46.702881 80.049510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39713580-1.39712752) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dl = 52.7518800005267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39713580-1.39712752) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dr = 52.7518800005267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81507110-0.81511904) × cos(1.39713580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172788966983422 × 6371000     		do = 52.7741981047128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81507110-0.81511904) × cos(1.39712752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172797122436932 × 6371000     		du = 52.7766889901358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39713580)-sin(1.39712752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172788966983422-0.172797122436932)×R²
    abs(0.81511904-0.81507110)×8.15545350915658e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.15545350915658e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.15545350915658e-06×40589641000000     		ar = 2784.00386481055m²