Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82536 / 18978
↖ ↑ ↗
← N 77.747781°
E 46.691894°		 ← 64.82 m → N 77.747781°
E 46.694641°		 →
↑
64.79 m
↓
↑
64.79 m
↓
N 77.747198°
E 46.691894°		 ← 64.82 m →
4 200 m²		 N 77.747198°
E 46.694641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629703521728516 y=0.144794464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629703521728516 × 217)
    floor (0.629703521728516 × 131072)
    floor (82536.5)     		tx = 82536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144794464111328 × 217)
    floor (0.144794464111328 × 131072)
    floor (18978.5)     		ty = 18978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82536 / 18978 ti = "17/82536/18978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82536/18978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82536 ÷ 217
    82536 ÷ 131072     		x = 0.62969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18978 ÷ 217
    18978 ÷ 131072     		y = 0.144790649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81492729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144790649414062 × 2 - 1) × π
    0.710418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23184617251057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81492729} λ = 0.81492729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23184617251057))-π/2
    2×atan(9.31705109496209)-π/2
    2×1.46387554276873-π/2
    2.92775108553747-1.57079632675     		φ = 1.35695476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81492729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.691894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35695476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.747781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82536 KachelY 18978 0.81492729 1.35695476 46.691894 77.747781
    Oben rechts KachelX + 1 82537 KachelY 18978 0.81497523 1.35695476 46.694641 77.747781
    Unten links KachelX 82536 KachelY + 1 18979 0.81492729 1.35694459 46.691894 77.747198
    Unten rechts KachelX + 1 82537 KachelY + 1 18979 0.81497523 1.35694459 46.694641 77.747198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35695476-1.35694459) × R
    1.01700000001426e-05 × 6371000     		dl = 64.7930700009083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35695476-1.35694459) × R
    1.01700000001426e-05 × 6371000     		dr = 64.7930700009083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81492729-0.81497523) × cos(1.35695476) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212215523505622 × 6371000     		do = 64.8160833062995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81492729-0.81497523) × cos(1.35694459) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212225461851411 × 6371000     		du = 64.8191187329167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35695476)-sin(1.35694459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212215523505622-0.212225461851411)×R²
    abs(0.81497523-0.81492729)×9.93834578982833e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.93834578982833e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.93834578982833e-06×40589641000000     		ar = 4199.73136015147m²