Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82536 / 15839
↖ ↑ ↗
← N 79.448980°
E 46.691894°		 ← 55.93 m → N 79.448980°
E 46.694641°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.448478°
E 46.691894°		 ← 55.93 m →
3 125 m²		 N 79.448478°
E 46.694641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629703521728516 y=0.120845794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629703521728516 × 217)
    floor (0.629703521728516 × 131072)
    floor (82536.5)     		tx = 82536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120845794677734 × 217)
    floor (0.120845794677734 × 131072)
    floor (15839.5)     		ty = 15839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82536 / 15839 ti = "17/82536/15839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82536/15839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82536 ÷ 217
    82536 ÷ 131072     		x = 0.62969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15839 ÷ 217
    15839 ÷ 131072     		y = 0.120841979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81492729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120841979980469 × 2 - 1) × π
    0.758316040039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38232010041793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81492729} λ = 0.81492729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38232010041793))-π/2
    2×atan(10.8300004267565)-π/2
    2×1.47872131054129-π/2
    2.95744262108257-1.57079632675     		φ = 1.38664629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81492729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.691894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38664629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.448980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82536 KachelY 15839 0.81492729 1.38664629 46.691894 79.448980
    Oben rechts KachelX + 1 82537 KachelY 15839 0.81497523 1.38664629 46.694641 79.448980
    Unten links KachelX 82536 KachelY + 1 15840 0.81492729 1.38663752 46.691894 79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 82537 KachelY + 1 15840 0.81497523 1.38663752 46.694641 79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38664629-1.38663752) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38664629-1.38663752) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81492729-0.81497523) × cos(1.38664629) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183111007537709 × 6371000     		do = 55.9268149794433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81492729-0.81497523) × cos(1.38663752) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 55.9294482721903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38664629)-sin(1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183111007537709-0.183119629249642)×R²
    abs(0.81497523-0.81492729)×8.62171193219408e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.62171193219408e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.62171193219408e-06×40589641000000     		ar = 3124.90997025304m²