Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82535 / 18979
↖ ↑ ↗
← N 77.747198°
E 46.689148°		 ← 64.81 m → N 77.747198°
E 46.691894°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.746615°
E 46.689148°		 ← 64.81 m →
4 203 m²		 N 77.746615°
E 46.691894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629695892333984 y=0.144802093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629695892333984 × 217)
    floor (0.629695892333984 × 131072)
    floor (82535.5)     		tx = 82535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144802093505859 × 217)
    floor (0.144802093505859 × 131072)
    floor (18979.5)     		ty = 18979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82535 / 18979 ti = "17/82535/18979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82535/18979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82535 ÷ 217
    82535 ÷ 131072     		x = 0.629692077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18979 ÷ 217
    18979 ÷ 131072     		y = 0.144798278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629692077636719 × 2 - 1) × π
    0.259384155273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81487936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144798278808594 × 2 - 1) × π
    0.710403442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.23179823561095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81487936} λ = 0.81487936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23179823561095))-π/2
    2×atan(9.31660447512386)-π/2
    2×1.46387045617244-π/2
    2.92774091234488-1.57079632675     		φ = 1.35694459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81487936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.689148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35694459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.747198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82535 KachelY 18979 0.81487936 1.35694459 46.689148 77.747198
    Oben rechts KachelX + 1 82536 KachelY 18979 0.81492729 1.35694459 46.691894 77.747198
    Unten links KachelX 82535 KachelY + 1 18980 0.81487936 1.35693441 46.689148 77.746615
    Unten rechts KachelX + 1 82536 KachelY + 1 18980 0.81492729 1.35693441 46.691894 77.746615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35694459-1.35693441) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dl = 64.8567799991064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35694459-1.35693441) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dr = 64.8567799991064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81487936-0.81492729) × cos(1.35694459) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212225461851411 × 6371000     		do = 64.8055978485241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81487936-0.81492729) × cos(1.35693441) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212235409947436 × 6371000     		du = 64.8086356193209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35694459)-sin(1.35693441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212225461851411-0.212235409947436)×R²
    abs(0.81492729-0.81487936)×9.94809602500313e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.94809602500313e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.94809602500313e-06×40589641000000     		ar = 4203.18091244666m²