Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82533 / 19029
↖ ↑ ↗
← N 77.718019°
E 46.683655°		 ← 64.97 m → N 77.718019°
E 46.686401°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.717435°
E 46.683655°		 ← 64.97 m →
4 222 m²		 N 77.717435°
E 46.686401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629680633544922 y=0.145183563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629680633544922 × 217)
    floor (0.629680633544922 × 131072)
    floor (82533.5)     		tx = 82533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145183563232422 × 217)
    floor (0.145183563232422 × 131072)
    floor (19029.5)     		ty = 19029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82533 / 19029 ti = "17/82533/19029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82533/19029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82533 ÷ 217
    82533 ÷ 131072     		x = 0.629676818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19029 ÷ 217
    19029 ÷ 131072     		y = 0.145179748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629676818847656 × 2 - 1) × π
    0.259353637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81478348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145179748535156 × 2 - 1) × π
    0.709640502929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.22940139062995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81478348} λ = 0.81478348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22940139062995))-π/2
    2×atan(9.29430075840107)-π/2
    2×1.46361582232045-π/2
    2.9272316446409-1.57079632675     		φ = 1.35643532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81478348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.683655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35643532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.718019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82533 KachelY 19029 0.81478348 1.35643532 46.683655 77.718019
    Oben rechts KachelX + 1 82534 KachelY 19029 0.81483142 1.35643532 46.686401 77.718019
    Unten links KachelX 82533 KachelY + 1 19030 0.81478348 1.35642512 46.683655 77.717435
    Unten rechts KachelX + 1 82534 KachelY + 1 19030 0.81483142 1.35642512 46.686401 77.717435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35643532-1.35642512) × R
    1.02000000001823e-05 × 6371000     		dl = 64.9842000011613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35643532-1.35642512) × R
    1.02000000001823e-05 × 6371000     		dr = 64.9842000011613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81478348-0.81483142) × cos(1.35643532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212723103509631 × 6371000     		do = 64.9711113044832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81478348-0.81483142) × cos(1.35642512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212733070046293 × 6371000     		du = 64.9741553413183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35643532)-sin(1.35642512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212723103509631-0.212733070046293)×R²
    abs(0.81483142-0.81478348)×9.96653666160419e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.96653666160419e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.96653666160419e-06×40589641000000     		ar = 4222.19459863542m²