Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82532 / 15780
↖ ↑ ↗
← N 79.478612°
E 46.680908°		 ← 55.76 m → N 79.478612°
E 46.683655°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.478110°
E 46.680908°		 ← 55.76 m →
3 108 m²		 N 79.478110°
E 46.683655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629673004150391 y=0.120395660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629673004150391 × 217)
    floor (0.629673004150391 × 131072)
    floor (82532.5)     		tx = 82532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120395660400391 × 217)
    floor (0.120395660400391 × 131072)
    floor (15780.5)     		ty = 15780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82532 / 15780 ti = "17/82532/15780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82532/15780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82532 ÷ 217
    82532 ÷ 131072     		x = 0.629669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15780 ÷ 217
    15780 ÷ 131072     		y = 0.120391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629669189453125 × 2 - 1) × π
    0.25933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81473555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120391845703125 × 2 - 1) × π
    0.75921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38514837749551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81473555} λ = 0.81473555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38514837749551))-π/2
    2×atan(10.8606740249842)-π/2
    2×1.47897989519803-π/2
    2.95795979039605-1.57079632675     		φ = 1.38716346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81473555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.680908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38716346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.478612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82532 KachelY 15780 0.81473555 1.38716346 46.680908 79.478612
    Oben rechts KachelX + 1 82533 KachelY 15780 0.81478348 1.38716346 46.683655 79.478612
    Unten links KachelX 82532 KachelY + 1 15781 0.81473555 1.38715471 46.680908 79.478110
    Unten rechts KachelX + 1 82533 KachelY + 1 15781 0.81478348 1.38715471 46.683655 79.478110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38716346-1.38715471) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dl = 55.7462500007189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38716346-1.38715471) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dr = 55.7462500007189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81473555-0.81478348) × cos(1.38716346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18260255725701 × 6371000     		do = 55.7598875672259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81473555-0.81478348) × cos(1.38715471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182611160134619 × 6371000     		du = 55.7625145593966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38716346)-sin(1.38715471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18260255725701-0.182611160134619)×R²
    abs(0.81478348-0.81473555)×8.60287760937051e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.60287760937051e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.60287760937051e-06×40589641000000     		ar = 3108.47785485965m²