Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82531 / 18981
↖ ↑ ↗
← N 77.746032°
E 46.678162°		 ← 64.83 m → N 77.746032°
E 46.680908°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.745449°
E 46.678162°		 ← 64.83 m →
4 204 m²		 N 77.745449°
E 46.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629665374755859 y=0.144817352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629665374755859 × 217)
    floor (0.629665374755859 × 131072)
    floor (82531.5)     		tx = 82531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144817352294922 × 217)
    floor (0.144817352294922 × 131072)
    floor (18981.5)     		ty = 18981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82531 / 18981 ti = "17/82531/18981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82531/18981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82531 ÷ 217
    82531 ÷ 131072     		x = 0.629661560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18981 ÷ 217
    18981 ÷ 131072     		y = 0.144813537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629661560058594 × 2 - 1) × π
    0.259323120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81468761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144813537597656 × 2 - 1) × π
    0.710372924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.23170236181171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81468761} λ = 0.81468761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23170236181171))-π/2
    2×atan(9.31571129967356)-π/2
    2×1.46386028226498-π/2
    2.92772056452996-1.57079632675     		φ = 1.35692424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81468761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.678162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35692424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.746032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82531 KachelY 18981 0.81468761 1.35692424 46.678162 77.746032
    Oben rechts KachelX + 1 82532 KachelY 18981 0.81473555 1.35692424 46.680908 77.746032
    Unten links KachelX 82531 KachelY + 1 18982 0.81468761 1.35691406 46.678162 77.745449
    Unten rechts KachelX + 1 82532 KachelY + 1 18982 0.81473555 1.35691406 46.680908 77.745449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35692424-1.35691406) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dl = 64.8567799991064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35692424-1.35691406) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dr = 64.8567799991064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81468761-0.81473555) × cos(1.35692424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212245348249303 × 6371000     		do = 64.8251925505586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81468761-0.81473555) × cos(1.35691406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21225529630136 × 6371000     		du = 64.8282309417196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35692424)-sin(1.35691406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212245348249303-0.21225529630136)×R²
    abs(0.81473555-0.81468761)×9.94805205664639e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.94805205664639e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.94805205664639e-06×40589641000000     		ar = 4204.45178179954m²