Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82530 / 15902
↖ ↑ ↗
← N 79.417249°
E 46.675415°		 ← 56.09 m → N 79.417249°
E 46.678162°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.416744°
E 46.675415°		 ← 56.10 m →
3 145 m²		 N 79.416744°
E 46.678162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629657745361328 y=0.121326446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629657745361328 × 217)
    floor (0.629657745361328 × 131072)
    floor (82530.5)     		tx = 82530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121326446533203 × 217)
    floor (0.121326446533203 × 131072)
    floor (15902.5)     		ty = 15902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82530 / 15902 ti = "17/82530/15902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82530/15902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82530 ÷ 217
    82530 ÷ 131072     		x = 0.629653930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15902 ÷ 217
    15902 ÷ 131072     		y = 0.121322631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629653930664062 × 2 - 1) × π
    0.259307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81463967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121322631835938 × 2 - 1) × π
    0.757354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37930007574187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81463967} λ = 0.81463967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37930007574187))-π/2
    2×atan(10.797342896321)-π/2
    2×1.47844439981575-π/2
    2.95688879963149-1.57079632675     		φ = 1.38609247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81463967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.675415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38609247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.417249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82530 KachelY 15902 0.81463967 1.38609247 46.675415 79.417249
    Oben rechts KachelX + 1 82531 KachelY 15902 0.81468761 1.38609247 46.678162 79.417249
    Unten links KachelX 82530 KachelY + 1 15903 0.81463967 1.38608367 46.675415 79.416744
    Unten rechts KachelX + 1 82531 KachelY + 1 15903 0.81468761 1.38608367 46.678162 79.416744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38609247-1.38608367) × R
    8.79999999980896e-06 × 6371000     		dl = 56.0647999987829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38609247-1.38608367) × R
    8.79999999980896e-06 × 6371000     		dr = 56.0647999987829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81463967-0.81468761) × cos(1.38609247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183655435574493 × 6371000     		do = 56.0930973153252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81463967-0.81468761) × cos(1.38608367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183664085885384 × 6371000     		du = 56.0957393429301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38609247)-sin(1.38608367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183655435574493-0.183664085885384)×R²
    abs(0.81468761-0.81463967)×8.65031089053447e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65031089053447e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65031089053447e-06×40589641000000     		ar = 3144.92234479094m²