Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82530 / 14830
↖ ↑ ↗
← N 79.944554°
E 46.675415°		 ← 53.33 m → N 79.944554°
E 46.678162°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.944075°
E 46.675415°		 ← 53.33 m →
2 844 m²		 N 79.944075°
E 46.678162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629657745361328 y=0.113147735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629657745361328 × 217)
    floor (0.629657745361328 × 131072)
    floor (82530.5)     		tx = 82530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113147735595703 × 217)
    floor (0.113147735595703 × 131072)
    floor (14830.5)     		ty = 14830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82530 / 14830 ti = "17/82530/14830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82530/14830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82530 ÷ 217
    82530 ÷ 131072     		x = 0.629653930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14830 ÷ 217
    14830 ÷ 131072     		y = 0.113143920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629653930664062 × 2 - 1) × π
    0.259307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81463967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113143920898438 × 2 - 1) × π
    0.773712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43068843213457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81463967} λ = 0.81463967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43068843213457))-π/2
    2×atan(11.3667045917634)-π/2
    2×1.48304600592454-π/2
    2.96609201184907-1.57079632675     		φ = 1.39529569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81463967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.675415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39529569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.944554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82530 KachelY 14830 0.81463967 1.39529569 46.675415 79.944554
    Oben rechts KachelX + 1 82531 KachelY 14830 0.81468761 1.39529569 46.678162 79.944554
    Unten links KachelX 82530 KachelY + 1 14831 0.81463967 1.39528732 46.675415 79.944075
    Unten rechts KachelX + 1 82531 KachelY + 1 14831 0.81468761 1.39528732 46.678162 79.944075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39529569-1.39528732) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39529569-1.39528732) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81463967-0.81468761) × cos(1.39529569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174601106092302 × 6371000     		do = 53.3276720330248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81463967-0.81468761) × cos(1.39528732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174609347516713 × 6371000     		du = 53.3301891761742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39529569)-sin(1.39528732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174601106092302-0.174609347516713)×R²
    abs(0.81468761-0.81463967)×8.24142441110953e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.24142441110953e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.24142441110953e-06×40589641000000     		ar = 2843.77962321165m²