Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82530 / 14808
↖ ↑ ↗
← N 79.955099°
E 46.675415°		 ← 53.27 m → N 79.955099°
E 46.678162°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.954619°
E 46.675415°		 ← 53.27 m →
2 841 m²		 N 79.954619°
E 46.678162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629657745361328 y=0.112979888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629657745361328 × 217)
    floor (0.629657745361328 × 131072)
    floor (82530.5)     		tx = 82530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112979888916016 × 217)
    floor (0.112979888916016 × 131072)
    floor (14808.5)     		ty = 14808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82530 / 14808 ti = "17/82530/14808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82530/14808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82530 ÷ 217
    82530 ÷ 131072     		x = 0.629653930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14808 ÷ 217
    14808 ÷ 131072     		y = 0.11297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629653930664062 × 2 - 1) × π
    0.259307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81463967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11297607421875 × 2 - 1) × π
    0.7740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43174304392621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81463967} λ = 0.81463967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43174304392621))-π/2
    2×atan(11.3786983757393)-π/2
    2×1.48313802633342-π/2
    2.96627605266684-1.57079632675     		φ = 1.39547973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81463967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.675415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39547973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.955099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82530 KachelY 14808 0.81463967 1.39547973 46.675415 79.955099
    Oben rechts KachelX + 1 82531 KachelY 14808 0.81468761 1.39547973 46.678162 79.955099
    Unten links KachelX 82530 KachelY + 1 14809 0.81463967 1.39547136 46.675415 79.954619
    Unten rechts KachelX + 1 82531 KachelY + 1 14809 0.81468761 1.39547136 46.678162 79.954619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39547973-1.39547136) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39547973-1.39547136) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81463967-0.81468761) × cos(1.39547973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174419890128718 × 6371000     		do = 53.2723240132475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81463967-0.81468761) × cos(1.39547136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174428131821954 × 6371000     		du = 53.274841238503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39547973)-sin(1.39547136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174419890128718-0.174428131821954)×R²
    abs(0.81468761-0.81463967)×8.24169323601631e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.24169323601631e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.24169323601631e-06×40589641000000     		ar = 2840.82817753377m²