Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82529 / 15805
↖ ↑ ↗
← N 79.466066°
E 46.672669°		 ← 55.83 m → N 79.466066°
E 46.675415°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.465564°
E 46.672669°		 ← 55.83 m →
3 116 m²		 N 79.465564°
E 46.675415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629650115966797 y=0.120586395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629650115966797 × 217)
    floor (0.629650115966797 × 131072)
    floor (82529.5)     		tx = 82529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120586395263672 × 217)
    floor (0.120586395263672 × 131072)
    floor (15805.5)     		ty = 15805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82529 / 15805 ti = "17/82529/15805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82529/15805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82529 ÷ 217
    82529 ÷ 131072     		x = 0.629646301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15805 ÷ 217
    15805 ÷ 131072     		y = 0.120582580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629646301269531 × 2 - 1) × π
    0.259292602539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81459174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120582580566406 × 2 - 1) × π
    0.758834838867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.38394995500501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81459174} λ = 0.81459174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38394995500501))-π/2
    2×atan(10.8476661449955)-π/2
    2×1.47887041320812-π/2
    2.95774082641624-1.57079632675     		φ = 1.38694450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81459174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.672669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38694450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.466066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82529 KachelY 15805 0.81459174 1.38694450 46.672669 79.466066
    Oben rechts KachelX + 1 82530 KachelY 15805 0.81463967 1.38694450 46.675415 79.466066
    Unten links KachelX 82529 KachelY + 1 15806 0.81459174 1.38693574 46.672669 79.465564
    Unten rechts KachelX + 1 82530 KachelY + 1 15806 0.81463967 1.38693574 46.675415 79.465564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38694450-1.38693574) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38694450-1.38693574) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81459174-0.81463967) × cos(1.38694450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18281783146221 × 6371000     		do = 55.8256241355324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81459174-0.81463967) × cos(1.38693574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182826443821208 × 6371000     		du = 55.8282540229593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38694450)-sin(1.38693574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18281783146221-0.182826443821208)×R²
    abs(0.81463967-0.81459174)×8.61235899865531e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.61235899865531e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.61235899865531e-06×40589641000000     		ar = 3115.69923693752m²