Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82528 / 19040
↖ ↑ ↗
← N 77.711590°
E 46.669922°		 ← 65 m → N 77.711590°
E 46.672669°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.711006°
E 46.669922°		 ← 65.01 m →
4 224 m²		 N 77.711006°
E 46.672669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629642486572266 y=0.145267486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629642486572266 × 217)
    floor (0.629642486572266 × 131072)
    floor (82528.5)     		tx = 82528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145267486572266 × 217)
    floor (0.145267486572266 × 131072)
    floor (19040.5)     		ty = 19040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82528 / 19040 ti = "17/82528/19040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82528/19040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82528 ÷ 217
    82528 ÷ 131072     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19040 ÷ 217
    19040 ÷ 131072     		y = 0.145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    0.70947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22887408473413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22887408473413))-π/2
    2×atan(9.28940111073372)-π/2
    2×1.46355972279565-π/2
    2.92711944559129-1.57079632675     		φ = 1.35632312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35632312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.711590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82528 KachelY 19040 0.81454380 1.35632312 46.669922 77.711590
    Oben rechts KachelX + 1 82529 KachelY 19040 0.81459174 1.35632312 46.672669 77.711590
    Unten links KachelX 82528 KachelY + 1 19041 0.81454380 1.35631292 46.669922 77.711006
    Unten rechts KachelX + 1 82529 KachelY + 1 19041 0.81459174 1.35631292 46.672669 77.711006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35632312-1.35631292) × R
    1.02000000001823e-05 × 6371000     		dl = 64.9842000011613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35632312-1.35631292) × R
    1.02000000001823e-05 × 6371000     		dr = 64.9842000011613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81459174) × cos(1.35632312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212832734195435 × 6371000     		do = 65.0045953378213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81459174) × cos(1.35631292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212842700488579 × 6371000     		du = 65.00763930028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35632312)-sin(1.35631292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212832734195435-0.212842700488579)×R²
    abs(0.81459174-0.81454380)×9.96629314434228e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.96629314434228e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.96629314434228e-06×40589641000000     		ar = 4224.37052929167m²