Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82528 / 15840
↖ ↑ ↗
← N 79.448478°
E 46.669922°		 ← 55.93 m → N 79.448478°
E 46.672669°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.447975°
E 46.669922°		 ← 55.93 m →
3 129 m²		 N 79.447975°
E 46.672669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629642486572266 y=0.120853424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629642486572266 × 217)
    floor (0.629642486572266 × 131072)
    floor (82528.5)     		tx = 82528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120853424072266 × 217)
    floor (0.120853424072266 × 131072)
    floor (15840.5)     		ty = 15840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82528 / 15840 ti = "17/82528/15840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82528/15840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82528 ÷ 217
    82528 ÷ 131072     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15840 ÷ 217
    15840 ÷ 131072     		y = 0.120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120849609375 × 2 - 1) × π
    0.75830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38227216351831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38227216351831))-π/2
    2×atan(10.8294812825563)-π/2
    2×1.47871692155098-π/2
    2.95743384310195-1.57079632675     		φ = 1.38663752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38663752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.448478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82528 KachelY 15840 0.81454380 1.38663752 46.669922 79.448478
    Oben rechts KachelX + 1 82529 KachelY 15840 0.81459174 1.38663752 46.672669 79.448478
    Unten links KachelX 82528 KachelY + 1 15841 0.81454380 1.38662874 46.669922 79.447975
    Unten rechts KachelX + 1 82529 KachelY + 1 15841 0.81459174 1.38662874 46.672669 79.447975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38663752-1.38662874) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38663752-1.38662874) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81459174) × cos(1.38663752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183119629249642 × 6371000     		do = 55.9294482720608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81459174) × cos(1.38662874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18312826077838 × 6371000     		du = 55.932084563113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38663752)-sin(1.38662874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183119629249642-0.18312826077838)×R²
    abs(0.81459174-0.81454380)×8.63152873836759e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63152873836759e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63152873836759e-06×40589641000000     		ar = 3128.62053477739m²