Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82528 / 14624
↖ ↑ ↗
← N 80.042864°
E 46.669922°		 ← 52.81 m → N 80.042864°
E 46.672669°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.042389°
E 46.669922°		 ← 52.81 m →
2 789 m²		 N 80.042389°
E 46.672669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629642486572266 y=0.111576080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629642486572266 × 217)
    floor (0.629642486572266 × 131072)
    floor (82528.5)     		tx = 82528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111576080322266 × 217)
    floor (0.111576080322266 × 131072)
    floor (14624.5)     		ty = 14624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82528 / 14624 ti = "17/82528/14624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82528/14624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82528 ÷ 217
    82528 ÷ 131072     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14624 ÷ 217
    14624 ÷ 131072     		y = 0.111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111572265625 × 2 - 1) × π
    0.77685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4405634334563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4405634334563))-π/2
    2×atan(11.4795068592369)-π/2
    2×1.48390392095357-π/2
    2.96780784190713-1.57079632675     		φ = 1.39701152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39701152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82528 KachelY 14624 0.81454380 1.39701152 46.669922 80.042864
    Oben rechts KachelX + 1 82529 KachelY 14624 0.81459174 1.39701152 46.672669 80.042864
    Unten links KachelX 82528 KachelY + 1 14625 0.81454380 1.39700323 46.669922 80.042389
    Unten rechts KachelX + 1 82529 KachelY + 1 14625 0.81459174 1.39700323 46.672669 80.042389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39701152-1.39700323) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dl = 52.8155900001395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39701152-1.39700323) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dr = 52.8155900001395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81459174) × cos(1.39701152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172911376336893 × 6371000     		do = 52.8115850720794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81459174) × cos(1.39700323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172919541461888 × 6371000     		du = 52.8140789114232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39701152)-sin(1.39700323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172911376336893-0.172919541461888)×R²
    abs(0.81459174-0.81454380)×8.16512499496325e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.16512499496325e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.16512499496325e-06×40589641000000     		ar = 2789.3408811961m²