Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82527 / 14817
↖ ↑ ↗
← N 79.950786°
E 46.667175°		 ← 53.29 m → N 79.950786°
E 46.669922°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.950307°
E 46.667175°		 ← 53.30 m →
2 842 m²		 N 79.950307°
E 46.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629634857177734 y=0.113048553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629634857177734 × 217)
    floor (0.629634857177734 × 131072)
    floor (82527.5)     		tx = 82527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113048553466797 × 217)
    floor (0.113048553466797 × 131072)
    floor (14817.5)     		ty = 14817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82527 / 14817 ti = "17/82527/14817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82527/14817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82527 ÷ 217
    82527 ÷ 131072     		x = 0.629631042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14817 ÷ 217
    14817 ÷ 131072     		y = 0.113044738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629631042480469 × 2 - 1) × π
    0.259262084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81449586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113044738769531 × 2 - 1) × π
    0.773910522460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43131161182963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81449586} λ = 0.81449586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43131161182963))-π/2
    2×atan(11.3737902988698)-π/2
    2×1.48310039317006-π/2
    2.96620078634013-1.57079632675     		φ = 1.39540446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81449586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.667175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39540446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.950786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82527 KachelY 14817 0.81449586 1.39540446 46.667175 79.950786
    Oben rechts KachelX + 1 82528 KachelY 14817 0.81454380 1.39540446 46.669922 79.950786
    Unten links KachelX 82527 KachelY + 1 14818 0.81449586 1.39539609 46.667175 79.950307
    Unten rechts KachelX + 1 82528 KachelY + 1 14818 0.81454380 1.39539609 46.669922 79.950307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39540446-1.39539609) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39540446-1.39539609) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81449586-0.81454380) × cos(1.39540446) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174494005848384 × 6371000     		do = 53.2949608618954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81449586-0.81454380) × cos(1.39539609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174502247431708 × 6371000     		du = 53.2974780535809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39540446)-sin(1.39539609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174494005848384-0.174502247431708)×R²
    abs(0.81454380-0.81449586)×8.2415833237981e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.2415833237981e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.2415833237981e-06×40589641000000     		ar = 2842.0352926904m²