Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82526 / 19038
↖ ↑ ↗
← N 77.712759°
E 46.664428°		 ← 65 m → N 77.712759°
E 46.667175°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.712175°
E 46.664428°		 ← 65 m →
4 224 m²		 N 77.712175°
E 46.667175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629627227783203 y=0.145252227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629627227783203 × 217)
    floor (0.629627227783203 × 131072)
    floor (82526.5)     		tx = 82526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145252227783203 × 217)
    floor (0.145252227783203 × 131072)
    floor (19038.5)     		ty = 19038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82526 / 19038 ti = "17/82526/19038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82526/19038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82526 ÷ 217
    82526 ÷ 131072     		x = 0.629623413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19038 ÷ 217
    19038 ÷ 131072     		y = 0.145248413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629623413085938 × 2 - 1) × π
    0.259246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81444792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145248413085938 × 2 - 1) × π
    0.709503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22896995853337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81444792} λ = 0.81444792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22896995853337))-π/2
    2×atan(9.29029176360532)-π/2
    2×1.46356992485926-π/2
    2.92713984971852-1.57079632675     		φ = 1.35634352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81444792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.664428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35634352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.712759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82526 KachelY 19038 0.81444792 1.35634352 46.664428 77.712759
    Oben rechts KachelX + 1 82527 KachelY 19038 0.81449586 1.35634352 46.667175 77.712759
    Unten links KachelX 82526 KachelY + 1 19039 0.81444792 1.35633332 46.664428 77.712175
    Unten rechts KachelX + 1 82527 KachelY + 1 19039 0.81449586 1.35633332 46.667175 77.712175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35634352-1.35633332) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35634352-1.35633332) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81444792-0.81449586) × cos(1.35634352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212812801542718 × 6371000     		do = 64.9985073926152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81444792-0.81449586) × cos(1.35633332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212822767880148 × 6371000     		du = 65.0015513685997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35634352)-sin(1.35633332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212812801542718-0.212822767880148)×R²
    abs(0.81449586-0.81444792)×9.96633742933462e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.96633742933462e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.96633742933462e-06×40589641000000     		ar = 4223.97490930678m²