Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82526 / 14818
↖ ↑ ↗
← N 79.950307°
E 46.664428°		 ← 53.30 m → N 79.950307°
E 46.667175°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.949828°
E 46.664428°		 ← 53.30 m →
2 839 m²		 N 79.949828°
E 46.667175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629627227783203 y=0.113056182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629627227783203 × 217)
    floor (0.629627227783203 × 131072)
    floor (82526.5)     		tx = 82526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113056182861328 × 217)
    floor (0.113056182861328 × 131072)
    floor (14818.5)     		ty = 14818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82526 / 14818 ti = "17/82526/14818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82526/14818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82526 ÷ 217
    82526 ÷ 131072     		x = 0.629623413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14818 ÷ 217
    14818 ÷ 131072     		y = 0.113052368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629623413085938 × 2 - 1) × π
    0.259246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81444792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113052368164062 × 2 - 1) × π
    0.773895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43126367493001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81444792} λ = 0.81444792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43126367493001))-π/2
    2×atan(11.3732450876939)-π/2
    2×1.48309621072052-π/2
    2.96619242144105-1.57079632675     		φ = 1.39539609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81444792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.664428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39539609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.950307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82526 KachelY 14818 0.81444792 1.39539609 46.664428 79.950307
    Oben rechts KachelX + 1 82527 KachelY 14818 0.81449586 1.39539609 46.667175 79.950307
    Unten links KachelX 82526 KachelY + 1 14819 0.81444792 1.39538773 46.664428 79.949828
    Unten rechts KachelX + 1 82527 KachelY + 1 14819 0.81449586 1.39538773 46.667175 79.949828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39539609-1.39538773) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39539609-1.39538773) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81444792-0.81449586) × cos(1.39539609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174502247431708 × 6371000     		do = 53.2974780534575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81444792-0.81449586) × cos(1.39538773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174510479156253 × 6371000     		du = 53.2999922340183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39539609)-sin(1.39538773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174502247431708-0.174510479156253)×R²
    abs(0.81449586-0.81444792)×8.23172454561538e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23172454561538e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23172454561538e-06×40589641000000     		ar = 2838.77377977796m²