Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82525 / 15836
↖ ↑ ↗
← N 79.450489°
E 46.661682°		 ← 55.91 m → N 79.450489°
E 46.664428°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.449986°
E 46.661682°		 ← 55.91 m →
3 127 m²		 N 79.449986°
E 46.664428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629619598388672 y=0.120822906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629619598388672 × 217)
    floor (0.629619598388672 × 131072)
    floor (82525.5)     		tx = 82525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120822906494141 × 217)
    floor (0.120822906494141 × 131072)
    floor (15836.5)     		ty = 15836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82525 / 15836 ti = "17/82525/15836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82525/15836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82525 ÷ 217
    82525 ÷ 131072     		x = 0.629615783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15836 ÷ 217
    15836 ÷ 131072     		y = 0.120819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629615783691406 × 2 - 1) × π
    0.259231567382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81439999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120819091796875 × 2 - 1) × π
    0.75836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38246391111679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81439999} λ = 0.81439999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38246391111679))-π/2
    2×atan(10.8315580086823)-π/2
    2×1.47873447627126-π/2
    2.95746895254252-1.57079632675     		φ = 1.38667263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81439999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.661682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38667263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.450489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82525 KachelY 15836 0.81439999 1.38667263 46.661682 79.450489
    Oben rechts KachelX + 1 82526 KachelY 15836 0.81444792 1.38667263 46.664428 79.450489
    Unten links KachelX 82525 KachelY + 1 15837 0.81439999 1.38666385 46.661682 79.449986
    Unten rechts KachelX + 1 82526 KachelY + 1 15837 0.81444792 1.38666385 46.664428 79.449986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38667263-1.38666385) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38667263-1.38666385) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81439999-0.81444792) × cos(1.38667263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183085112824502 × 6371000     		do = 55.9072417149032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81439999-0.81444792) × cos(1.38666385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183093744409686 × 6371000     		du = 55.9098774732771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38667263)-sin(1.38666385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183085112824502-0.183093744409686)×R²
    abs(0.81444792-0.81439999)×8.63158518391027e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.63158518391027e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.63158518391027e-06×40589641000000     		ar = 3127.37834334943m²