Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82524 / 20228
↖ ↑ ↗
← N 76.997463°
E 46.658936°		 ← 68.72 m → N 76.997463°
E 46.661682°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 76.996846°
E 46.658936°		 ← 68.72 m →
4 720 m²		 N 76.996846°
E 46.661682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629611968994141 y=0.154331207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629611968994141 × 217)
    floor (0.629611968994141 × 131072)
    floor (82524.5)     		tx = 82524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154331207275391 × 217)
    floor (0.154331207275391 × 131072)
    floor (20228.5)     		ty = 20228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82524 / 20228 ti = "17/82524/20228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82524/20228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82524 ÷ 217
    82524 ÷ 131072     		x = 0.629608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20228 ÷ 217
    20228 ÷ 131072     		y = 0.154327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629608154296875 × 2 - 1) × π
    0.25921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81435205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154327392578125 × 2 - 1) × π
    0.69134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1719250479855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81435205} λ = 0.81435205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1719250479855))-π/2
    2×atan(8.77516039647553)-π/2
    2×1.45732779017419-π/2
    2.91465558034838-1.57079632675     		φ = 1.34385925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81435205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.658936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34385925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.997463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82524 KachelY 20228 0.81435205 1.34385925 46.658936 76.997463
    Oben rechts KachelX + 1 82525 KachelY 20228 0.81439999 1.34385925 46.661682 76.997463
    Unten links KachelX 82524 KachelY + 1 20229 0.81435205 1.34384847 46.658936 76.996846
    Unten rechts KachelX + 1 82525 KachelY + 1 20229 0.81439999 1.34384847 46.661682 76.996846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34385925-1.34384847) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34385925-1.34384847) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81435205-0.81439999) × cos(1.34385925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224994193418346 × 6371000     		do = 68.7190180204565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81435205-0.81439999) × cos(1.34384847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225004697007198 × 6371000     		du = 68.7222260868541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34385925)-sin(1.34384847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224994193418346-0.225004697007198)×R²
    abs(0.81439999-0.81435205)×1.05035888514626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05035888514626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05035888514626e-05×40589641000000     		ar = 4719.68971588929m²