Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82523 / 18962
↖ ↑ ↗
← N 77.757103°
E 46.656189°		 ← 64.77 m → N 77.757103°
E 46.658936°		 →
↑
64.79 m
↓
↑
64.79 m
↓
N 77.756521°
E 46.656189°		 ← 64.77 m →
4 197 m²		 N 77.756521°
E 46.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629604339599609 y=0.144672393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629604339599609 × 217)
    floor (0.629604339599609 × 131072)
    floor (82523.5)     		tx = 82523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144672393798828 × 217)
    floor (0.144672393798828 × 131072)
    floor (18962.5)     		ty = 18962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82523 / 18962 ti = "17/82523/18962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82523/18962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82523 ÷ 217
    82523 ÷ 131072     		x = 0.629600524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18962 ÷ 217
    18962 ÷ 131072     		y = 0.144668579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629600524902344 × 2 - 1) × π
    0.259201049804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81430411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144668579101562 × 2 - 1) × π
    0.710662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2326131629045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81430411} λ = 0.81430411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2326131629045))-π/2
    2×atan(9.32419992484306)-π/2
    2×1.46395689591109-π/2
    2.92791379182219-1.57079632675     		φ = 1.35711747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81430411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.656189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35711747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.757103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82523 KachelY 18962 0.81430411 1.35711747 46.656189 77.757103
    Oben rechts KachelX + 1 82524 KachelY 18962 0.81435205 1.35711747 46.658936 77.757103
    Unten links KachelX 82523 KachelY + 1 18963 0.81430411 1.35710730 46.656189 77.756521
    Unten rechts KachelX + 1 82524 KachelY + 1 18963 0.81435205 1.35710730 46.658936 77.756521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35711747-1.35710730) × R
    1.01699999999205e-05 × 6371000     		dl = 64.7930699994936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35711747-1.35710730) × R
    1.01699999999205e-05 × 6371000     		dr = 64.7930699994936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81430411-0.81435205) × cos(1.35711747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212056516761166 × 6371000     		do = 64.7675185535591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81430411-0.81435205) × cos(1.35710730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212066455457998 × 6371000     		du = 64.7705540873937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35711747)-sin(1.35710730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212056516761166-0.212066455457998)×R²
    abs(0.81435205-0.81430411)×9.93869683219017e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.93869683219017e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.93869683219017e-06×40589641000000     		ar = 4196.58470401669m²