Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82523 / 15806
↖ ↑ ↗
← N 79.465564°
E 46.656189°		 ← 55.84 m → N 79.465564°
E 46.658936°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.465062°
E 46.656189°		 ← 55.84 m →
3 120 m²		 N 79.465062°
E 46.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629604339599609 y=0.120594024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629604339599609 × 217)
    floor (0.629604339599609 × 131072)
    floor (82523.5)     		tx = 82523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120594024658203 × 217)
    floor (0.120594024658203 × 131072)
    floor (15806.5)     		ty = 15806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82523 / 15806 ti = "17/82523/15806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82523/15806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82523 ÷ 217
    82523 ÷ 131072     		x = 0.629600524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15806 ÷ 217
    15806 ÷ 131072     		y = 0.120590209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629600524902344 × 2 - 1) × π
    0.259201049804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81430411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120590209960938 × 2 - 1) × π
    0.758819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38390201810539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81430411} λ = 0.81430411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38390201810539))-π/2
    2×atan(10.8471461539758)-π/2
    2×1.47886603124484-π/2
    2.95773206248967-1.57079632675     		φ = 1.38693574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81430411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.656189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38693574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.465564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82523 KachelY 15806 0.81430411 1.38693574 46.656189 79.465564
    Oben rechts KachelX + 1 82524 KachelY 15806 0.81435205 1.38693574 46.658936 79.465564
    Unten links KachelX 82523 KachelY + 1 15807 0.81430411 1.38692697 46.656189 79.465062
    Unten rechts KachelX + 1 82524 KachelY + 1 15807 0.81435205 1.38692697 46.658936 79.465062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38693574-1.38692697) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38693574-1.38692697) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81430411-0.81435205) × cos(1.38693574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182826443821208 × 6371000     		do = 55.8399018956244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81430411-0.81435205) × cos(1.38692697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182835065997613 × 6371000     		du = 55.8425353302333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38693574)-sin(1.38692697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182826443821208-0.182835065997613)×R²
    abs(0.81435205-0.81430411)×8.62217640493212e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62217640493212e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62217640493212e-06×40589641000000     		ar = 3120.05382112904m²