Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82522 / 14654
↖ ↑ ↗
← N 80.028606°
E 46.653443°		 ← 52.88 m → N 80.028606°
E 46.656189°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.028130°
E 46.653443°		 ← 52.88 m →
2 796 m²		 N 80.028130°
E 46.656189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629596710205078 y=0.111804962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629596710205078 × 217)
    floor (0.629596710205078 × 131072)
    floor (82522.5)     		tx = 82522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111804962158203 × 217)
    floor (0.111804962158203 × 131072)
    floor (14654.5)     		ty = 14654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82522 / 14654 ti = "17/82522/14654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82522/14654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82522 ÷ 217
    82522 ÷ 131072     		x = 0.629592895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14654 ÷ 217
    14654 ÷ 131072     		y = 0.111801147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629592895507812 × 2 - 1) × π
    0.259185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81425618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111801147460938 × 2 - 1) × π
    0.776397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4391253264677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81425618} λ = 0.81425618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4391253264677))-π/2
    2×atan(11.4630099651894)-π/2
    2×1.48377950032532-π/2
    2.96755900065064-1.57079632675     		φ = 1.39676267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81425618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.653443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39676267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.028606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82522 KachelY 14654 0.81425618 1.39676267 46.653443 80.028606
    Oben rechts KachelX + 1 82523 KachelY 14654 0.81430411 1.39676267 46.656189 80.028606
    Unten links KachelX 82522 KachelY + 1 14655 0.81425618 1.39675437 46.653443 80.028130
    Unten rechts KachelX + 1 82523 KachelY + 1 14655 0.81430411 1.39675437 46.656189 80.028130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39676267-1.39675437) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39676267-1.39675437) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81425618-0.81430411) × cos(1.39676267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173156472649188 × 6371000     		do = 52.8754119958278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81425618-0.81430411) × cos(1.39675437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17316464726614 × 6371000     		du = 52.8779082134548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39676267)-sin(1.39675437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173156472649188-0.17316464726614)×R²
    abs(0.81430411-0.81425618)×8.17461695223898e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.17461695223898e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.17461695223898e-06×40589641000000     		ar = 2796.08077271672m²