Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82520 / 14574
↖ ↑ ↗
← N 80.066582°
E 46.647949°		 ← 52.69 m → N 80.066582°
E 46.650696°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.066108°
E 46.647949°		 ← 52.69 m →
2 776 m²		 N 80.066108°
E 46.650696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629581451416016 y=0.111194610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629581451416016 × 217)
    floor (0.629581451416016 × 131072)
    floor (82520.5)     		tx = 82520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111194610595703 × 217)
    floor (0.111194610595703 × 131072)
    floor (14574.5)     		ty = 14574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82520 / 14574 ti = "17/82520/14574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82520/14574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82520 ÷ 217
    82520 ÷ 131072     		x = 0.62957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14574 ÷ 217
    14574 ÷ 131072     		y = 0.111190795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62957763671875 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81416030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111190795898438 × 2 - 1) × π
    0.777618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4429602784373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81416030} λ = 0.81416030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4429602784373))-π/2
    2×atan(11.5070544581108)-π/2
    2×1.4841108974305-π/2
    2.968221794861-1.57079632675     		φ = 1.39742547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81416030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39742547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.066582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82520 KachelY 14574 0.81416030 1.39742547 46.647949 80.066582
    Oben rechts KachelX + 1 82521 KachelY 14574 0.81420824 1.39742547 46.650696 80.066582
    Unten links KachelX 82520 KachelY + 1 14575 0.81416030 1.39741720 46.647949 80.066108
    Unten rechts KachelX + 1 82521 KachelY + 1 14575 0.81420824 1.39741720 46.650696 80.066108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39742547-1.39741720) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dl = 52.6881699994992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39742547-1.39741720) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dr = 52.6881699994992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81416030-0.81420824) × cos(1.39742547) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172503646702688 × 6371000     		do = 52.6870539469544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81416030-0.81420824) × cos(1.39741720) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172511792720218 × 6371000     		du = 52.6895419503868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39742547)-sin(1.39741720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172503646702688-0.172511792720218)×R²
    abs(0.81420824-0.81416030)×8.14601753085231e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.14601753085231e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.14601753085231e-06×40589641000000     		ar = 2776.04999920696m²