Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82518 / 19026
↖ ↑ ↗
← N 77.719772°
E 46.642456°		 ← 64.96 m → N 77.719772°
E 46.645203°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.719187°
E 46.642456°		 ← 64.97 m →
4 222 m²		 N 77.719187°
E 46.645203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629566192626953 y=0.145160675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629566192626953 × 217)
    floor (0.629566192626953 × 131072)
    floor (82518.5)     		tx = 82518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145160675048828 × 217)
    floor (0.145160675048828 × 131072)
    floor (19026.5)     		ty = 19026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82518 / 19026 ti = "17/82518/19026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82518/19026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82518 ÷ 217
    82518 ÷ 131072     		x = 0.629562377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19026 ÷ 217
    19026 ÷ 131072     		y = 0.145156860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629562377929688 × 2 - 1) × π
    0.259124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81406443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145156860351562 × 2 - 1) × π
    0.709686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22954520132881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81406443} λ = 0.81406443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22954520132881))-π/2
    2×atan(9.29563747440328)-π/2
    2×1.46363111717505-π/2
    2.92726223435011-1.57079632675     		φ = 1.35646591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81406443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.642456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35646591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.719772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82518 KachelY 19026 0.81406443 1.35646591 46.642456 77.719772
    Oben rechts KachelX + 1 82519 KachelY 19026 0.81411237 1.35646591 46.645203 77.719772
    Unten links KachelX 82518 KachelY + 1 19027 0.81406443 1.35645571 46.642456 77.719187
    Unten rechts KachelX + 1 82519 KachelY + 1 19027 0.81411237 1.35645571 46.645203 77.719187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35646591-1.35645571) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35646591-1.35645571) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81406443-0.81411237) × cos(1.35646591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212693213538051 × 6371000     		do = 64.9619821379452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81406443-0.81411237) × cos(1.35645571) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212703180141083 × 6371000     		du = 64.9650261950515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35646591)-sin(1.35645571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212693213538051-0.212703180141083)×R²
    abs(0.81411237-0.81406443)×9.96660303170804e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.96660303170804e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.96660303170804e-06×40589641000000     		ar = 4221.60134754456m²