Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82514 / 20214
↖ ↑ ↗
← N 77.006112°
E 46.631470°		 ← 68.67 m → N 77.006112°
E 46.634216°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.005494°
E 46.631470°		 ← 68.68 m →
4 717 m²		 N 77.005494°
E 46.634216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629535675048828 y=0.154224395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629535675048828 × 217)
    floor (0.629535675048828 × 131072)
    floor (82514.5)     		tx = 82514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154224395751953 × 217)
    floor (0.154224395751953 × 131072)
    floor (20214.5)     		ty = 20214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82514 / 20214 ti = "17/82514/20214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82514/20214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82514 ÷ 217
    82514 ÷ 131072     		x = 0.629531860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20214 ÷ 217
    20214 ÷ 131072     		y = 0.154220581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629531860351562 × 2 - 1) × π
    0.259063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81387268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154220581054688 × 2 - 1) × π
    0.691558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17259616458019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81387268} λ = 0.81387268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17259616458019))-π/2
    2×atan(8.78105152883582)-π/2
    2×1.45740326416194-π/2
    2.91480652832387-1.57079632675     		φ = 1.34401020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81387268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.631470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34401020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.006112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82514 KachelY 20214 0.81387268 1.34401020 46.631470 77.006112
    Oben rechts KachelX + 1 82515 KachelY 20214 0.81392062 1.34401020 46.634216 77.006112
    Unten links KachelX 82514 KachelY + 1 20215 0.81387268 1.34399942 46.631470 77.005494
    Unten rechts KachelX + 1 82515 KachelY + 1 20215 0.81392062 1.34399942 46.634216 77.005494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34401020-1.34399942) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34401020-1.34399942) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81387268-0.81392062) × cos(1.34401020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224847111197807 × 6371000     		do = 68.6740953244074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81387268-0.81392062) × cos(1.34399942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224857615152667 × 6371000     		du = 68.6773035025935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34401020)-sin(1.34399942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224847111197807-0.224857615152667)×R²
    abs(0.81392062-0.81387268)×1.05039548601027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05039548601027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05039548601027e-05×40589641000000     		ar = 4716.60445681969m²