Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82514 / 19031
↖ ↑ ↗
← N 77.716850°
E 46.631470°		 ← 64.98 m → N 77.716850°
E 46.634216°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.716266°
E 46.631470°		 ← 64.98 m →
4 223 m²		 N 77.716266°
E 46.634216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629535675048828 y=0.145198822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629535675048828 × 217)
    floor (0.629535675048828 × 131072)
    floor (82514.5)     		tx = 82514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145198822021484 × 217)
    floor (0.145198822021484 × 131072)
    floor (19031.5)     		ty = 19031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82514 / 19031 ti = "17/82514/19031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82514/19031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82514 ÷ 217
    82514 ÷ 131072     		x = 0.629531860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19031 ÷ 217
    19031 ÷ 131072     		y = 0.145195007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629531860351562 × 2 - 1) × π
    0.259063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81387268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145195007324219 × 2 - 1) × π
    0.709609985351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.22930551683071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81387268} λ = 0.81387268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22930551683071))-π/2
    2×atan(9.29340972119032)-π/2
    2×1.46360562455664-π/2
    2.92721124911328-1.57079632675     		φ = 1.35641492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81387268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.631470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35641492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.716850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82514 KachelY 19031 0.81387268 1.35641492 46.631470 77.716850
    Oben rechts KachelX + 1 82515 KachelY 19031 0.81392062 1.35641492 46.634216 77.716850
    Unten links KachelX 82514 KachelY + 1 19032 0.81387268 1.35640472 46.631470 77.716266
    Unten rechts KachelX + 1 82515 KachelY + 1 19032 0.81392062 1.35640472 46.634216 77.716266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35641492-1.35640472) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35641492-1.35640472) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81387268-0.81392062) × cos(1.35641492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212743036560822 × 6371000     		do = 64.9771993713934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81387268-0.81392062) × cos(1.35640472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212753003053216 × 6371000     		du = 64.9802433947083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35641492)-sin(1.35640472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212743036560822-0.212753003053216)×R²
    abs(0.81392062-0.81387268)×9.96649239484726e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.96649239484726e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.96649239484726e-06×40589641000000     		ar = 4222.59022618153m²