Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82514 / 15817
↖ ↑ ↗
← N 79.460039°
E 46.631470°		 ← 55.87 m → N 79.460039°
E 46.634216°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.459537°
E 46.631470°		 ← 55.87 m →
3 122 m²		 N 79.459537°
E 46.634216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629535675048828 y=0.120677947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629535675048828 × 217)
    floor (0.629535675048828 × 131072)
    floor (82514.5)     		tx = 82514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120677947998047 × 217)
    floor (0.120677947998047 × 131072)
    floor (15817.5)     		ty = 15817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82514 / 15817 ti = "17/82514/15817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82514/15817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82514 ÷ 217
    82514 ÷ 131072     		x = 0.629531860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15817 ÷ 217
    15817 ÷ 131072     		y = 0.120674133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629531860351562 × 2 - 1) × π
    0.259063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81387268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120674133300781 × 2 - 1) × π
    0.758651733398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.38337471220957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81387268} λ = 0.81387268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38337471220957))-π/2
    2×atan(10.8414278976237)-π/2
    2×1.47881781601618-π/2
    2.95763563203236-1.57079632675     		φ = 1.38683931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81387268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.631470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38683931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.460039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82514 KachelY 15817 0.81387268 1.38683931 46.631470 79.460039
    Oben rechts KachelX + 1 82515 KachelY 15817 0.81392062 1.38683931 46.634216 79.460039
    Unten links KachelX 82514 KachelY + 1 15818 0.81387268 1.38683054 46.631470 79.459537
    Unten rechts KachelX + 1 82515 KachelY + 1 15818 0.81392062 1.38683054 46.634216 79.459537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38683931-1.38683054) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38683931-1.38683054) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81387268-0.81392062) × cos(1.38683931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18292124766302 × 6371000     		do = 55.8688574291645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81387268-0.81392062) × cos(1.38683054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182929869684767 × 6371000     		du = 55.8714908165368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38683931)-sin(1.38683054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18292124766302-0.182929869684767)×R²
    abs(0.81392062-0.81387268)×8.62202174650717e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62202174650717e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62202174650717e-06×40589641000000     		ar = 3121.67167177833m²