Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82513 / 19057
↖ ↑ ↗
← N 77.701649°
E 46.628723°		 ← 65.06 m → N 77.701649°
E 46.631470°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.701064°
E 46.628723°		 ← 65.06 m →
4 232 m²		 N 77.701064°
E 46.631470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629528045654297 y=0.145397186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629528045654297 × 217)
    floor (0.629528045654297 × 131072)
    floor (82513.5)     		tx = 82513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145397186279297 × 217)
    floor (0.145397186279297 × 131072)
    floor (19057.5)     		ty = 19057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82513 / 19057 ti = "17/82513/19057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82513/19057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82513 ÷ 217
    82513 ÷ 131072     		x = 0.629524230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19057 ÷ 217
    19057 ÷ 131072     		y = 0.145393371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629524230957031 × 2 - 1) × π
    0.259048461914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81382474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145393371582031 × 2 - 1) × π
    0.709213256835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22805915744059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81382474} λ = 0.81382474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22805915744059))-π/2
    2×atan(9.281834007966)-π/2
    2×1.4634729666581-π/2
    2.9269459333162-1.57079632675     		φ = 1.35614961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81382474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.628723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35614961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.701649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82513 KachelY 19057 0.81382474 1.35614961 46.628723 77.701649
    Oben rechts KachelX + 1 82514 KachelY 19057 0.81387268 1.35614961 46.631470 77.701649
    Unten links KachelX 82513 KachelY + 1 19058 0.81382474 1.35613940 46.628723 77.701064
    Unten rechts KachelX + 1 82514 KachelY + 1 19058 0.81387268 1.35613940 46.631470 77.701064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35614961-1.35613940) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35614961-1.35613940) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81382474-0.81387268) × cos(1.35614961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213002265642264 × 6371000     		do = 65.0563746054225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81382474-0.81387268) × cos(1.35613940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213012241329073 × 6371000     		du = 65.0594214369481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35614961)-sin(1.35613940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213002265642264-0.213012241329073)×R²
    abs(0.81387268-0.81382474)×9.97568680871641e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97568680871641e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97568680871641e-06×40589641000000     		ar = 4231.88029522284m²