Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82512 / 19025
↖ ↑ ↗
← N 77.720356°
E 46.625977°		 ← 64.95 m → N 77.720356°
E 46.628723°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.719772°
E 46.625977°		 ← 64.95 m →
4 216 m²		 N 77.719772°
E 46.628723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629520416259766 y=0.145153045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629520416259766 × 217)
    floor (0.629520416259766 × 131072)
    floor (82512.5)     		tx = 82512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145153045654297 × 217)
    floor (0.145153045654297 × 131072)
    floor (19025.5)     		ty = 19025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82512 / 19025 ti = "17/82512/19025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82512/19025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82512 ÷ 217
    82512 ÷ 131072     		x = 0.6295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19025 ÷ 217
    19025 ÷ 131072     		y = 0.145149230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    0.259033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81377681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145149230957031 × 2 - 1) × π
    0.709701538085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22959313822843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81377681} λ = 0.81377681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22959313822843))-π/2
    2×atan(9.2960830891244)-π/2
    2×1.46363621498233-π/2
    2.92727242996467-1.57079632675     		φ = 1.35647610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81377681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.625977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35647610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.720356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82512 KachelY 19025 0.81377681 1.35647610 46.625977 77.720356
    Oben rechts KachelX + 1 82513 KachelY 19025 0.81382474 1.35647610 46.628723 77.720356
    Unten links KachelX 82512 KachelY + 1 19026 0.81377681 1.35646591 46.625977 77.719772
    Unten rechts KachelX + 1 82513 KachelY + 1 19026 0.81382474 1.35646591 46.628723 77.719772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35647610-1.35646591) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35647610-1.35646591) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81377681-0.81382474) × cos(1.35647610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212683256684103 × 6371000     		do = 64.9453910081085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81377681-0.81382474) × cos(1.35646591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212693213538051 × 6371000     		du = 64.9484314532426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35647610)-sin(1.35646591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212683256684103-0.212693213538051)×R²
    abs(0.81382474-0.81377681)×9.95685394838963e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95685394838963e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95685394838963e-06×40589641000000     		ar = 4216.38530102239m²