Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82511 / 15795
↖ ↑ ↗
← N 79.471087°
E 46.623230°		 ← 55.81 m → N 79.471087°
E 46.625977°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.470585°
E 46.623230°		 ← 55.81 m →
3 115 m²		 N 79.470585°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629512786865234 y=0.120510101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629512786865234 × 217)
    floor (0.629512786865234 × 131072)
    floor (82511.5)     		tx = 82511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120510101318359 × 217)
    floor (0.120510101318359 × 131072)
    floor (15795.5)     		ty = 15795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82511 / 15795 ti = "17/82511/15795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82511/15795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82511 ÷ 217
    82511 ÷ 131072     		x = 0.629508972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15795 ÷ 217
    15795 ÷ 131072     		y = 0.120506286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629508972167969 × 2 - 1) × π
    0.259017944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81372887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120506286621094 × 2 - 1) × π
    0.758987426757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.38442932400121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81372887} λ = 0.81372887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38442932400121))-π/2
    2×atan(10.8528674263934)-π/2
    2×1.47891422148432-π/2
    2.95782844296864-1.57079632675     		φ = 1.38703212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81372887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.623230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38703212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.471087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82511 KachelY 15795 0.81372887 1.38703212 46.623230 79.471087
    Oben rechts KachelX + 1 82512 KachelY 15795 0.81377681 1.38703212 46.625977 79.471087
    Unten links KachelX 82511 KachelY + 1 15796 0.81372887 1.38702336 46.623230 79.470585
    Unten rechts KachelX + 1 82512 KachelY + 1 15796 0.81377681 1.38702336 46.625977 79.470585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38703212-1.38702336) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38703212-1.38702336) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81372887-0.81377681) × cos(1.38703212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182731687437481 × 6371000     		do = 55.8109608570048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81372887-0.81377681) × cos(1.38702336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182740299936772 × 6371000     		du = 55.813591335974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38703212)-sin(1.38702336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182731687437481-0.182740299936772)×R²
    abs(0.81377681-0.81372887)×8.61249929096086e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61249929096086e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61249929096086e-06×40589641000000     		ar = 3114.88089647549m²