Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82511 / 14670
↖ ↑ ↗
← N 80.020994°
E 46.623230°		 ← 52.93 m → N 80.020994°
E 46.625977°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.020518°
E 46.623230°		 ← 52.93 m →
2 799 m²		 N 80.020518°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629512786865234 y=0.111927032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629512786865234 × 217)
    floor (0.629512786865234 × 131072)
    floor (82511.5)     		tx = 82511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111927032470703 × 217)
    floor (0.111927032470703 × 131072)
    floor (14670.5)     		ty = 14670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82511 / 14670 ti = "17/82511/14670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82511/14670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82511 ÷ 217
    82511 ÷ 131072     		x = 0.629508972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14670 ÷ 217
    14670 ÷ 131072     		y = 0.111923217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629508972167969 × 2 - 1) × π
    0.259017944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81372887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111923217773438 × 2 - 1) × π
    0.776153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43835833607378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81372887} λ = 0.81372887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43835833607378))-π/2
    2×atan(11.4542213174957)-π/2
    2×1.48371307056388-π/2
    2.96742614112776-1.57079632675     		φ = 1.39662981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81372887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.623230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39662981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.020994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82511 KachelY 14670 0.81372887 1.39662981 46.623230 80.020994
    Oben rechts KachelX + 1 82512 KachelY 14670 0.81377681 1.39662981 46.625977 80.020994
    Unten links KachelX 82511 KachelY + 1 14671 0.81372887 1.39662151 46.623230 80.020518
    Unten rechts KachelX + 1 82512 KachelY + 1 14671 0.81377681 1.39662151 46.625977 80.020518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39662981-1.39662151) × R
    8.30000000018316e-06 × 6371000     		dl = 52.8793000011669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39662981-1.39662151) × R
    8.30000000018316e-06 × 6371000     		dr = 52.8793000011669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81372887-0.81377681) × cos(1.39662981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17328732418087 × 6371000     		do = 52.9264092205274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81372887-0.81377681) × cos(1.39662151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1732954986068 × 6371000     		du = 52.928905900616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39662981)-sin(1.39662151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17328732418087-0.1732954986068)×R²
    abs(0.81377681-0.81372887)×8.17442592956907e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.17442592956907e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.17442592956907e-06×40589641000000     		ar = 2798.77748245476m²