Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82510 / 14674
↖ ↑ ↗
← N 80.019090°
E 46.620483°		 ← 52.94 m → N 80.019090°
E 46.623230°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.018614°
E 46.620483°		 ← 52.94 m →
2 799 m²		 N 80.018614°
E 46.623230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629505157470703 y=0.111957550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629505157470703 × 217)
    floor (0.629505157470703 × 131072)
    floor (82510.5)     		tx = 82510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111957550048828 × 217)
    floor (0.111957550048828 × 131072)
    floor (14674.5)     		ty = 14674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82510 / 14674 ti = "17/82510/14674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82510/14674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82510 ÷ 217
    82510 ÷ 131072     		x = 0.629501342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14674 ÷ 217
    14674 ÷ 131072     		y = 0.111953735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629501342773438 × 2 - 1) × π
    0.259002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81368093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111953735351562 × 2 - 1) × π
    0.776092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4381665884753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81368093} λ = 0.81368093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4381665884753))-π/2
    2×atan(11.4520252086217)-π/2
    2×1.48369645528134-π/2
    2.96739291056268-1.57079632675     		φ = 1.39659658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81368093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.620483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39659658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.019090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82510 KachelY 14674 0.81368093 1.39659658 46.620483 80.019090
    Oben rechts KachelX + 1 82511 KachelY 14674 0.81372887 1.39659658 46.623230 80.019090
    Unten links KachelX 82510 KachelY + 1 14675 0.81368093 1.39658828 46.620483 80.018614
    Unten rechts KachelX + 1 82511 KachelY + 1 14675 0.81372887 1.39658828 46.623230 80.018614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39659658-1.39658828) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39659658-1.39658828) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81368093-0.81372887) × cos(1.39659658) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173320051358922 × 6371000     		do = 52.9364049432247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81368093-0.81372887) × cos(1.39658828) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173328225737052 × 6371000     		du = 52.9389016087139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39659658)-sin(1.39658828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173320051358922-0.173328225737052)×R²
    abs(0.81372887-0.81368093)×8.17437812949962e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.17437812949962e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.17437812949962e-06×40589641000000     		ar = 2799.30604867466m²