Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82509 / 20215
↖ ↑ ↗
← N 77.005494°
E 46.617737°		 ← 68.66 m → N 77.005494°
E 46.620483°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.004877°
E 46.617737°		 ← 68.67 m →
4 716 m²		 N 77.004877°
E 46.620483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629497528076172 y=0.154232025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629497528076172 × 217)
    floor (0.629497528076172 × 131072)
    floor (82509.5)     		tx = 82509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154232025146484 × 217)
    floor (0.154232025146484 × 131072)
    floor (20215.5)     		ty = 20215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82509 / 20215 ti = "17/82509/20215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82509/20215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82509 ÷ 217
    82509 ÷ 131072     		x = 0.629493713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20215 ÷ 217
    20215 ÷ 131072     		y = 0.154228210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629493713378906 × 2 - 1) × π
    0.258987426757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81363300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154228210449219 × 2 - 1) × π
    0.691543579101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17254822768056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81363300} λ = 0.81363300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17254822768056))-π/2
    2×atan(8.78063060253915)-π/2
    2×1.45739787479941-π/2
    2.91479574959881-1.57079632675     		φ = 1.34399942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81363300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.617737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34399942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.005494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82509 KachelY 20215 0.81363300 1.34399942 46.617737 77.005494
    Oben rechts KachelX + 1 82510 KachelY 20215 0.81368093 1.34399942 46.620483 77.005494
    Unten links KachelX 82509 KachelY + 1 20216 0.81363300 1.34398864 46.617737 77.004877
    Unten rechts KachelX + 1 82510 KachelY + 1 20216 0.81368093 1.34398864 46.620483 77.004877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34399942-1.34398864) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34399942-1.34398864) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81363300-0.81368093) × cos(1.34399942) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224857615152667 × 6371000     		do = 68.6629778238601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81363300-0.81368093) × cos(1.34398864) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224868119081397 × 6371000     		du = 68.66618532486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34399942)-sin(1.34398864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224857615152667-0.224868119081397)×R²
    abs(0.81368093-0.81363300)×1.05039287297548e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05039287297548e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05039287297548e-05×40589641000000     		ar = 4715.84089060212m²