Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82507 / 15793
↖ ↑ ↗
← N 79.472090°
E 46.612243°		 ← 55.81 m → N 79.472090°
E 46.614990°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.471588°
E 46.612243°		 ← 55.81 m →
3 111 m²		 N 79.471588°
E 46.614990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629482269287109 y=0.120494842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629482269287109 × 217)
    floor (0.629482269287109 × 131072)
    floor (82507.5)     		tx = 82507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120494842529297 × 217)
    floor (0.120494842529297 × 131072)
    floor (15793.5)     		ty = 15793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82507 / 15793 ti = "17/82507/15793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82507/15793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82507 ÷ 217
    82507 ÷ 131072     		x = 0.629478454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15793 ÷ 217
    15793 ÷ 131072     		y = 0.120491027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629478454589844 × 2 - 1) × π
    0.258956909179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81353712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120491027832031 × 2 - 1) × π
    0.759017944335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.38452519780045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81353712} λ = 0.81353712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38452519780045))-π/2
    2×atan(10.8539079819065)-π/2
    2×1.47892298066223-π/2
    2.95784596132446-1.57079632675     		φ = 1.38704963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81353712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.612243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38704963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.472090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82507 KachelY 15793 0.81353712 1.38704963 46.612243 79.472090
    Oben rechts KachelX + 1 82508 KachelY 15793 0.81358506 1.38704963 46.614990 79.472090
    Unten links KachelX 82507 KachelY + 1 15794 0.81353712 1.38704088 46.612243 79.471588
    Unten rechts KachelX + 1 82508 KachelY + 1 15794 0.81358506 1.38704088 46.614990 79.471588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38704963-1.38704088) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dl = 55.7462499993042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38704963-1.38704088) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dr = 55.7462499993042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81353712-0.81358506) × cos(1.38704963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182714472228493 × 6371000     		do = 55.8057028890604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81353712-0.81358506) × cos(1.38704088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182723074924168 × 6371000     		du = 55.8083303737529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38704963)-sin(1.38704088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182714472228493-0.182723074924168)×R²
    abs(0.81358506-0.81353712)×8.60269567470873e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60269567470873e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60269567470873e-06×40589641000000     		ar = 3111.03190081094m²